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1、用射影面积法求二面角在高考中的妙用立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现.求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理已知平面B内一个多边形的面积为S,它在平面CC内的射影图形的面积为平面CC和5*平面卩所成的二面角的大小为,贝ijcosO.kJ本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面B内的AABC在平面a的射影为ABC,作AD丄于
2、D,连结AD.AAA丄a于4,Dea,A0在a内的射影为AD.X,又AD丄EC,ECuu,/.AD丄0C（三垂线定理的逆定理）.ZAD4,为二面角a_BC卩的平面角.典题妙解F面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1如图，已知正方体ABCDAiB&iD面BEq与面AC所成的二面角的大小为（A.451B.arctan22Carctan42D.arccos3解：连结AC,则啟；在面AC内的射影是ABC,设它们的面积分别为s和J,所成的二面角为e=(2设正方体的棱长为2,贝JAB=BC=2,BE=5,BC=22,EC112)2+12=3._310BE2+BCEC2cosZEBC=11=i2
3、BEBC11,sinZEBC=1-COS2ZEBC1011ii9-?S=-BE-BCisinZEBCi二S=-AB-BC=2,cos9-n2U=arccos.3故答案选D.例2(04北京)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形,SD丄面AC,SB=3.(1) 求证:BC丄SC;(2) 求面ASD与面BSC所成的二面角的大小；(3) 设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成的角的大小.(1) 证明：ISD丄面AC,SC在面AC内的射影是SD.又四边形ABCD是正方形，BCu面AC,BC丄SC(三垂线定理).(2) 解：SD丄面AC,CDu面AC,.SD丄CD.又四边形ABCD是正
4、方形，AD丄CD.而ADCSD=D,/.CD丄面ASD.又ABCD,/.BA丄面ASD.ASBC在面SAD的射影是ASAD,设它们的面积分别为S和S，,所成的二面角为。vZSCB=90,BC=1,SB=3,/.SC=SB-BC=2,SD=SC2CZ)2=1.i21i亠尹心“尹心”严胡*七故吩.COS071所以面ASD与面BSC所成的二面角的大小为才(3) 解：取AB的中点E,连结DE、ME.vAM=MS,AE=EB,:.ME#SB.异面直线DM与SB所成的角就是ZDME,哄DME1 35ME=-SB=,DE=AD2+AE2二一，2 2212SAAD2+SD2=2,MD=SA,22MD2+ME2
5、-DE22MD-ME71所以异面直线DM与SB所成的角的大小为解法二：BA丄面SAD,SB在面SAD内的射影是SA.又AD=SD=1,AM=MS,:.DM丄SA.而DWu面SAD,:-DM丄SB(三垂线定理).71所以异面直线DM与SB所成的角的大小为刁.例3(04浙江)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面E互相垂直，AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.M(1) 求证：AM平面BDE；C(2) 求证：面AE丄平面BDF；(3) 求二面角ADFB的大小.D证明：(1)设ACHBD=O,则AO=-AC,连结OE.四边形ACEF是矩形,EM=-EF,/.EM=AO,EM#AO.EMF
6、BOA四边形AOEM是平行四边形，从而AMEO.又tEOu平面BDE,AM平面BDE.(2) 四边形ABCD是正方形，丄AC.又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，EC丄AC,面BDPl面AE=AC,EC丄面,从而EC丄BD.而ACCEC=C,:.BD丄面AE.TBDu平面BDF,面AE丄平面BDF.(3) 解：vBA丄丄=:.BA丄面ADF.BDF在面ADF上的射影是ADF,设它们的面积分别为S和S，,所成的二面角为.AB=2,AF=1,AD=2,BD=2,FB=FD=3,连结FO,则FO丄BD,FO=FB2BO?=2.11?S1:,S=-BDFO=2,S=-AD-AF=-=27
7、1r所以二面角ADFB的大小为呂.例4(08天津)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,ZPAB=60.#/.EM=AO,EM#AO.E#/.EM=AO,EM#AO.E(1)证明：AD丄平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小;(3)求二面角PBDA的大小.#(1) 证明：4D=PA=2,PD=22,AD2+PM=PD2./.ZPAD=90,即DA丄阳.又四边形ABCD是正方形，DA丄AB.而ABPA=A,AB、PAu面PAB,AD丄平面PAB.(2) vAD#BC,异面直线PC与AD所成的角就是PC与BC所成的角,即/PCB
8、.在PAB中，AB=3,PA=2,PD=22,ZPAB=60,/.PBi=PAi+ABi-2PAAB=1,PB=7.由(1)得，AD丄平面PAB.:,CB丄PB,即ZCBP=90.又VBC=AD=2,PE77tanZPCB=ZPCB-arctanBC22所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan-1.?(3)作PE丄于E,连结DE.由(1)知，AO丄PE,而ABCAD=A,A.M丄面ABCD.EPBD在面ABCD内的射影是EBD,设B它们的面积分别为S和J,所成的二面角为.BD=AB+AD2=13,=PAcos60=1,BE=AB-AE=2.P+PD2ED21.55cosZBPD=二,
9、smZBPD=l-cos2ZBPD=2PB-PD214214:,s=-PBPD-sinZBPD=VI,s=-BEAD=2,222:.COS04550arccos55所以二面角PBDA的大小为arccos455点评：例1和例2中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1.(05全国III)如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD丄底面ABCD.V(1) 证明：AB丄平面VAD；(2) 求面VA
10、D与面VDB所成二面角的大小.DC#2.(06全国II)如图，在直三棱柱ABC竽U中，AB=BC,D、E分别为肪、“的中点.(1)证明:ED为异面直线吗和巴的公垂线;=AC=2AB,求二面角A-AD-C的大小.1113.(07陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC,ZABC=90,PA丄平面ABCD,PA=4,AD=2,AB=23,BC=6.P(1) 求证：BD丄平面PAC；(2) 求二面角APCD的大小.AD4.(09湖北)如图，四棱柱SABCD的底面是正方形，SD丄平面ABCD,SD二AD=a,点E是SD上的点，且DE二九。(0ADu平面VAD,故AB丄平面VAD.(2
11、)由(1)可知，AB丄平面VAD,AVBD在平面VAD的射影是VAD,设它们的面积分别为S和S，,所成的二面角为.设正方形的边长为1,则2,VB=AB+VA2=2,cosZVBD=BD2+BV2VD2=,sinZVBD=l-cos2ZVBD=2BDBV441 713:.S=-BDBVsinZVBD=,5=-VAVZ）sin60=.2 424521Q21/.cosU=,U=arccos.S7721所以面VAD与面VDB所成二面角的大小为arccos.2.（06全国II）如图，在直三棱柱ABCABC中，AB=BC,D、E分别为、AC的中点.111111(1) 证明：ED为异面直线33和AC的公垂线
12、；匕111(2) 设曲-AC-2AB,求二面角A-AD-C的大小.111E(1)证明：取AC的中点F,连结EF、BF.1cAF=FC,AE=EC，/.EF/CC,EF=-CC.ii2i在直三棱柱ABCABC中，CC丄面ABC,CC=BB,CC/BB11111111B1A1DEF/DB,EF=DB,EF丄面ABC.四边形BDEF是矩形.从而ED丄BB.1在RtAABD和RtACBD中，11AB=CB.ZABD=ZCBD=BD.iiiiiRtAABDRtACBD.11AD=CD而AE=EC,ED_LAC111所以ED为异面直线BB和AC的公垂线.11CBi1(2)解连结AB.AA=AC=2AB,AB=BC,:.AC2=AB+BC,A111ED/.ZCBA=ZCBA=90,即CB丄面ABBA1111111CBAC在面ABBA内的射影是AB.1111AAACD在面ABBA内的射影是ABD.设它们的面积分别为S和S，,所成的二面角为1111设AB=BC=1,则AC=CC=2,AC=2,BD=,AD=AB2+BD2=,DE=AD-AE=1ii2221 22$，兀/
