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1、第三章 刚体的转动3-1 一飞轮受摩擦力矩作用减速转动，其角加速度与角速度成正比，即，式中为比例常数。初始角速度为，求：（1）飞轮角速度随时间变化的关系；（2）角速度由减为所需的时间以及在此时间内飞轮转过的转数。解：（1）由，分离变量 ，并由初始条件；等式两边积分 （2）当角速度由减为时 由，分离变量 ，并由初始条件，；等式两边积分代入，得飞轮转过的角度飞轮转过的转数 3-2 一刚体由静止开始绕一固定轴作匀角加速转动。由实验可测得刚体上某点的切向加速度为，法向加速度为，试证明，为任意时间内转过的角度。解：刚体定轴转动时,设刚体上某点作圆周运动的半径为，则该点的法向加速度为 切向加速度为 又，且
2、3-3 一根质量为，长为的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的滑动摩擦因数为，求杆转动时受摩擦力矩的大小。解：设杆的线密度为。在杆上取一线元距转轴为，质量为。该线元在转动时受桌面摩擦力为摩擦力方向与垂直，故线元受摩擦力矩的大小为杆转动时受摩擦力矩的大小为又 3-4 如图所示，一长为，质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为和的小球，杆可绕通过其中心且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，释放后，杆绕轴转动。当杆转到水平位置时，求系统所受的合外力矩与系统的角加速度大小。解：两小球对水平转轴的转动惯量为 题3-4图当杆
3、转到水平位置时，小球和直杆所受合外力矩为题3-4图由刚体的转动定律 3-5 如图所示，一轻绳绕于半径的飞轮边缘，现以恒力拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。已知飞轮的转动惯量为，飞轮与轴承之间的摩擦不计。题3-5图（1） 求飞轮的角加速度；（2） 求绳子拉下时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能；（3） 这动能和拉力所做的功是否相等？为什么？（4） 如以重量的物体挂在绳端，如图示，飞轮将如何运动？试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下时飞轮获得的动能。这动能和重力对物体所做的功是否相等？为什么？解：恒力作用于飞轮的力矩 （1）由刚体转动第二定律，飞轮的角加速度（2）绳子拉下时，飞轮转过的角度 题3-5图
4、 题3-5图设经过的时间为，则飞轮的角速度 飞轮获得的动能 （3）拉力所做的功为 与飞轮获得的动能相等（4）若在绳端挂重量的物体则有 解得 绳子拉下时，飞轮的角速度为，由，飞轮获得动能 重力对物体所做的功 物体所获动能 重力对物体所做的功为物体动能和飞轮动能之和。3-6 如图所示，两物体的质量分别为和，滑轮转动惯量为，半径为，则（1） 若与桌面间滑动摩擦系数为，求系统的加速度及绳中张力（设绳不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动）；（2） 如与桌面为光滑接触，求系统的加速度与绳中张力；（3） 若滑轮的质量不计则结果又如何？ 题3-6图 解：（1）若与桌面滑动摩擦系数为，则有如下方程组解得 （2）若与桌
5、面光滑接触，则有 解得 （3）若再忽略滑轮质量 解得 3-7 如图所示，轻弹簧、定滑轮和物体系统。已知弹簧倔强系数，定滑轮转动惯量，半径，开始物体静止，弹簧无伸长，求当质量为的物体落下时它的速度大小。 题3-7图解：设物体下落了时，其速度为，由机械能守恒定律又 故有代入 ，得 3-8 如图所示，一质量为的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为，半径为，转动惯量为，滑轮轴光滑。求该物体由静止开始下落过程中下落速度与时间的关系。题3-8图解：方法一：由牛顿第二定律及刚体的转动定律得 得 故物体的下落速度为 题3-8图方法二：由机械能守恒定律其中 解得
6、3-9 水分子的形状如图所示。从光谱分析知水分子对轴的转动惯量是，对轴的转动惯量是。试由此数据和各原子的质量求出氢和氧原子间的距离和夹角。假设各原子都可当质点处理。解：水分子中两个氢分子对轴和轴的转动惯量分别为、 题3-9图 已知氢原子质量 、两式相除，得 把值代入式得3-10 如图所示，从一个半径为的均匀薄板上挖去一个直径为的圆板。所形成的圆洞中心在距原薄板中心处。所剩薄板的质量为。求此时薄板对于通过圆中心而与板面垂直的轴的转动惯量。解：设均匀薄板被挖去圆板后的转动惯量为，挖去圆板前的转动惯量为，被挖去的圆板对转轴的转动惯量为，则有被挖去的圆板对通过自己圆心并垂直于板面的转轴的转动惯量为，由
7、平行轴定理题3-10图又 故 薄板对通过圆中心的垂直轴的转动惯量3-11 如图所示，一根质量均匀的铁丝，质量为，长为，在其中心处弯成角，放在平面内。（1） 求对轴和轴的转动惯量； （2） 如果，（1）中结果如何？ 题3-11图解：（1）在距点为 处取线元，距轴为。线元质量为，对轴的转动惯量为铁丝对轴的转动惯量同理 ，（2）若 3-12 长为，质量为的匀质棒，垂直悬挂在转轴点上，用的水平力撞击棒的下端，该力作用的时间为，求：（1） 棒所获得的动量矩；（2） 棒的端点上升的距离。解：棒对转轴的转动惯量为（1）在打击瞬间，重力对转轴不产生力矩，由角动量定理，棒所获得的动量矩 题3-12图（2）撞击后
8、，棒转动到最高位置时角速度为零，以棒和地球为研究对象，此过程中机械能守恒。设棒的中心上升的距离为。其中代入上式棒的端点上升的距离 3-13 如图所示，一根质量为，长为的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置。一质量为的小球，以速度垂直落到棒的端点。设小球与棒作弹性碰撞。求碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度。解：棒的转动惯量为 题3-13图设碰撞后小球的速度为，棒的角速度为。碰撞过程内力比外力大的多，碰撞过程角动量守恒，则有 又因小球与棒作弹性碰撞，机械能守恒 把代入两式解得 3-14 如图所示，一长，质量为的均匀细木棒，由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止，今有一
9、质量的子弹以的速率水平射入棒中，射入点在轴下处。求：（1）子弹停在棒中时棒的角速度；（2）棒的最大偏转角。解：（1）子弹对转轴的转动惯量为细木棒的转动惯量 题3-14图子弹射入棒前对转轴的角速度为，射入后与棒一起转动的角速度为。射入木棒前后，子弹与木棒的角动量守恒（2）设棒的最大偏转角为，棒的中心和子弹上升的高度分别为、。由机械能守恒定律解得 3-15 如图所示，质量为，长为的均匀细杆可绕过端点的固定水平轴转动。杆从水平位置由静止开始下摆，杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。小球看作质点，质量也为，设碰撞是弹性的，忽略轴上摩擦，求碰后小球获得的速度。题3-15图解：细杆的转动惯量为杆摆在竖直位置时，质心下降了，由机械能守恒定律 题3-15图设碰撞后小球的速度为，杆的角速度为。碰撞过程内力比外力大的多，碰撞过程角动量守恒，则有 由于是弹性碰撞，机械能守恒 把和 代入两式得
