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1、 微分几何复习题 一、填空题1. 向量具有固定方向，则= 。2. 非零向量满足的充要条件是 。3. 若向量函数满足，则具有固定 。4. 曲线的正常点是指满足 的点.5. 曲线在任意点的切向量为 。6. 曲线在点的切向量为 。7. 曲线在点的切向量为 。 8. 设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由确定的平面是曲线在P点的 。9. 若是曲线的正则点，则曲线在的密切平面方程是 。10. 曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的法平面方程是 。11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。 12. 曲线在t = 1点处有，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率= 。13. 曲线x=cost，y
2、=sint, z=t在t=0处的切线方程是 。14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。16. 曲线=t3-t2-t, t2-2t+2, 2上的点不是正常点的是t = 。17. 曲线的曲率是 。18. 曲线的挠率是 。19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。21. 设有曲线，当时的切线方程为 。22. 设有曲线，当时的切线方程为 。23. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的 的不变量。 24. 在旋转曲面中， 是旋转曲面的经线。25. 若点(u0, v0)为曲面的正则点，则在(u0,
3、 v0)满足 。26. 曲面在点的法线方程是 。 27. 直纹面的参数表示总可以写成 。28. 如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 。29. 曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线的坐标网是 。31. 已知曲面的第一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直的充要条件是 。32. 对曲面有,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从到t (t )的弧长s = 。33. 若曲面在(0，1)点处的第二基本形式，则在(0，1)点处， 。其中为曲面的单位法向量。34. 已知曲面的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。35. 若曲面的第一基本形式为，曲面在一点
4、的切向与u-线的夹角为,则曲面在这点沿切方向的测地曲率= 。36. 挠率 的曲线其副法向量是常向量。37. 曲线在点的主法向量是，则曲线在P点的从切平面方程是 。 38. 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是39. 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 。40. 半径为R的球面的高斯曲率K= 。41. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的 恒等于零。42在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。43球面上， 线是球面上的纬圆。44在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 。45曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是 。38曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是 。46
5、极小曲面是指 的曲面。47曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的 的最大值和最小值.48两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 。49设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的 。50法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.51距离单位球面球心距离为d (0d1)的平面与球面的交线的曲率为 ，法曲率为 。52在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足 , 把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为 。53法曲率的最大值和最小值正好是 , 使法曲率达到最大值和最小值的方向是 方向.54平面的第一基本形式为 。55悬链面的第
6、一类形式是 。56曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是 。57正螺面的第一基本形式是 。58双曲抛物面的第一基本形式是 。59正螺面的平均曲率 。60函数是主曲率的充要条件是 。61方向是主方向的充要条件是 。62根据罗德里格定理，如果方向是主方向，则 ，其中是曲面沿方向(d)的法曲率。63旋转曲面中的极小曲面必是平面或 。64空间曲面的基本公式中的Gauss公式是 , Weingarten 公式是 。 65设曲面S上的曲线C在P点的曲率为k, 测地曲率为kg, 法曲率为kn,则它们之间手关系是 。66设曲面S上的曲线C在P点的曲率为k, 测地曲率为kg, 切方向上的法曲率为kn, 则它们之间手关
7、系是 。67如果曲面S上的存在直线, 则此直线的测地曲率为 。68测地线的方程为 。69简单光滑闭曲线的Gauss-Bonnet公式是 。70逐段光滑简单闭曲线的Gauss-Bonnet公式是 。二、单项选择题1. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( ) A. 曲面上曲线的曲率； B. 曲面上曲线的测地曲率；C. 曲面上测地三角形的内角和； D. 曲面的高斯曲率。2. 圆柱螺线在点的切线为 ( )A； B. ；C. ； D.。3. 圆柱螺线的切线与轴 ( ). 平行； . 垂直；. 有固定夹角； . 有固定夹角。4. 设有平面曲线，为自然参数，是曲线的基本向量下列叙述错误的是 ( ) . 为单位
8、向量； . ；. ； . 。5. 直线的曲率k为 ( ). ；. ； .；.。6. 关于平面曲线的曲率,为自然参数, 不正确的是 ( ). ； . ，为的旋转角；. ； . 。7. 设曲线在P(s)点的基本向量是,则下列论述不正确的是( ). 均为单位向量； . ；. ； . 。7. 曲线在点的切线与轴关系为 ( ). 垂直；. 平行； . 成的角；. 成的角。8. 曲线在P(s)点的基本向量是，曲率k(s)，挠率，则下式 ( A )不正确。A. ； B. ； C. ； D. 。9. 过空间曲线C上点P(非逗留点)的切线和P点的邻近点Q的平面，当Q沿曲线C趋于点P时，平面的极限位置称为曲线C在
9、P点的 ( ) A. 法平面； B. 密切平面； C. 从切平面； D. 不存在。10. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 ( ) A. 直线； B. 圆； C. 圆柱螺线； D. 平面曲线。11. 平面曲线的密切平面与曲线所在平面 （ ） A. 相交； B. 平行； C. 重合； D. 垂直。12. 下面曲线中是一般螺线的是 （ ） A. 平面曲线； B. 圆柱螺线； C. 直线； D. 球面曲线。13. 曲线在P(t)点的曲率为k , 挠率为，则下列式子( )不正确。A. ； B. ； C. ； D. 。14. 对于向量函数，若，则( )A是定长向量； B. 定长向量；C是定向向量； D.
10、是定向向量。15. 空间曲线的形状由( )决定A 由曲率和挠率； B. 仅由曲率；C 仅由挠率； D. 由参数的选取.16. 曲率是常数的曲线 ( )A 一定是直线； B. 一定是圆；C 一定是球面上的曲线； D. 答案A,B,C都不对.17. 圆柱螺线 在任一点的切线与轴的夹角( )A为； B. ； C. 与有关； D. 与有关。18. 椭球面的参数表示为 （ ）A. ；B. ；C. ；D. 。19. 以下为单叶双曲面的参数表示的是 （ ）A. ；B. ；C. ； D. ；20. 以下为双叶双曲面的参数表示的是 （ ）A. ； B. ；C. ； D. 。21. 以下为椭圆抛物面的参数表示的是 （ ）A. ； B. ；C. ；D. 。22. 以下为双曲抛物面的参数表示的是 （ ）A . ； B. ；C. ； D. 。23. 曲面在点的切平面方程为（ ）A. ； B. ；C. ； D. 。24. 球面的第一基本形式为（ ）A. ； B. ；C. ； D. 。25. 正圆柱面的第一基本形式为 （ ） A. ； B. ； C. ； D 。26. 在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为 （ ）A. ； B. ；C. ；
