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1、初中数学二次根式及计算编稿老师董志臣一校 安宁 二校 黄楠 审核宋树庆【解析考烟把脉若问】【雉要点点点突破】考点考名腰求分值考向预测二次根式 及计算1 .理解二次根式定义，理解最简二次 根式、同类二次根式含义并能加以区分；2 .能够进行二次根式的有关加减乘除运算，以及化简求值；3 .掌握二次根式的特殊求值方法，能够运用二次根式的性质解决问题。510分主要考查内容：二次根式有意义的条件；二次根式性质的运用；(ja)2与后的化简；二次根式的计算。、二次根式的基本概念:1.定义一般地，形如 品(a0)的代数式叫作二次根式。”称为二次根号。(当a0时，Ja表示a的算术平方根)【要点诠释】(1)形如bj
2、a (a0的式子也叫作二次根式；(2)二次根式 Ja中的被开方数a,可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但 必须满足a Gb2 .二次根式的性质 非负性，Ja表示a的算术平方根，因此 Oa (a冷)是一个非负数；(Ta)2 = a(a 0)Ia(a 0) a2= a = 0(a = 0);-a(a ； 0) 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的声术平方根的积;s/Ob = /a Vb (aR0, b 0)商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术 平方根。(a0, b0)3 .最简二次根式必须同时满足下列条件 被开方数中不含开方开得尽的因数或
3、因式；被开方数中不含会抄“分母中不含根武乙【规律总结】在判断最简二次根式的过程中要注意： 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果哥的指数大于或等于2,也不是最简二次根式。【随堂练习】（长宁区二模）下列二次根式中，最简二次根式是（A. 9 9xB. x 3C.D. . 3a b答案：A. . 9x = , x 32 =3、一 x ,可化简；c. Jx =卜（x y）= J，xy ,可化简；,x - x x xD. 3a2b =|a| 3b ,可化简；因此只有B是最简二次根式，故选 Bo思路分析：判定一个二次根式是不是最简
4、二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根 式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后， 若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。二、二次根式的计算：1 .二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式。2.二次根式的乘除法： 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方a . . b豆 (a0, b0) 二次根式的除法法则： 两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。垂=他（a，b0）.b ，ba-0a :二 0（1）不是同类二次根式的不能合并，如：J3 +，5
5、 #；（2）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数， 则应利用 a2 = a = 进行化简，即将根号内能够开得尽方的数移到根号外;（3）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简；（4）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算。【随堂练习】（白银）下列计算错误的是（）a.、.2、.3 =、,6 b.、2 、3，/5c.、.12-；3=2 d.、8=2、2答案：B【且题+模拟崎通关】例题1 （巴中）要使式子4m+1有意义,则m -1A. m 1m的取值范围是（）C. m 1 且 m 11思路分析：根据二次根式的性质和分式的意义,被开方
6、数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范围。答案：根据题意得：m+1利m-1加，解得：mA 1且m力。故选D。技巧点拨：本题考查的知识点为：分式有意义的条件，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数。例题2（吉林）若av J13vb,且a, b为连续正整数，则 b2- a2=。思路分析：因为321342,所以3V v134,求得a、b的数值，进一步求得问题的 答案即可。答案：-321342, 3V ”13v 4,即 a=3, b=4,. b2-a2=7o 故答案为 7。技巧点拨：此题考查无理数的估算。利用平方估算出根号下的数值的取值，进一步得出无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法。例
7、题 3 (荆门)(1)计算：J24 xJ1 4X/1 x (1 J2 ) 0; .31, 8222(2)先化简，再求值：(2 a _b-2 + a-)b一，其中 a, b 满足 JOF+lba 。2ab b b - a a - ab思路分析：（1）根据二次根式的乘法法则和零指数哥的意义得到原式4X M=2 22 近,然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘4法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=且，再根据非负数的性质得到a+1=0, bb3 =0 ,解得a= - 1, b= 33 ,然后把a和b的值代入计算即可。答案：解：(1)原式=J24 x 4X2 X1=22 2
8、 = 0,解得x故填x或。分析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为。的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数。 错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为 0的条件。正解：根据题意，得x-20,解得x2,故填x2o 二、理解性质出错如：求y(3：2的值。易错点：V(-3f =-3o分析： .-3 2 表示(-3 2的算术平方根，应为正数。错解由于对二次根式的性质理解 不透而犯错。正解：Y( -3 f = V9 = 3o三、忽略运算顺序如：计算22. + 父4 3。易错点：原式=J2 + 1 = J2。分析：由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行。正解：原式=22
9、 X3 M 3 =36 。四、对最简二次根式判断不准如：下列各式中，是最简二次根式的是()AllC. .1.2D. .49易错点：选Co也不含分母，满足条分析：最简二次根式的被开方数中既不含开得尽方的因式或因数,件的只有Bo错解只看表面形式，不求甚解，C中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简。正解：选B。(答题时间：30分钟)111.在式子 ，x 2 , x -3中，x可以取2和3的是(x - 2 x - 3A. B. C. Jx-2 D. . x-3x - 2 x - 32 .设n为正整数，且 n v V65 Q解彳导:xZ则x可以取2和3,故C正确;D.被开方数大于等于 0,即x-3
10、Q解彳导:x x不能取2,故D错误。故选Co2. D 解析：. J64 v J65炳， 8v J65 Q，x=5, y=0+0+3=3 ,xy=5X3=15o 故选 D。4. B解析：二三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， a b c v 0 , a+b c 0 J(a-b-c)2 +|a+bc|=b+ca+a+bc=2b。故选 B。1一-一5.一 解析：由题息得，x 40且4xQ解得x4且x0,即 x2,2 x 0,x _2原式=一 J- *(x 2)2 = Jx 2。x - 27 .解：原式=5 19+拒一1 1+2 72 =7+3 亚。8 .解：(1) a+b =(m+n 向)2, 1- a+b 73 =m2+3n2+2mn 73 , . a=m2+3n2, b=2mn。 故答案为m2+3n2, 2mn。(2)设 m=1 , n=1,a=m2+3n2=4, b=2mn=2。故答案为 4、2、1、1。(3)由题意得：a=m2+3n2, b=2mn.1 4=2mn ,且 m、n为正整数，1. m=2 , n=1 或者 m=1, n=2
