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1、第34讲 概率、随机变量及分布考点一古典概型古典概型的概率公式P(A).【典例】1已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为() A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1【解析】 5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种.恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p0.6.(2)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A0.6 B0.5 C
2、0.4 D0.3【解析】：设2名男同学为A1,A2，3名女同学为B1,B2,B3，从以上5名同学中任选2人总共有A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有B1B2,B1B3,B2B3共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为P=310=0.3，故选D.【拓展训练】1(1)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. B. C. D.【解析】不
3、超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C45(种)情况，而和为30的有723,1119,1317这3种情况，所以所求概率为.(2)某公司安排甲、乙、丙、丁4人到A，B，C三个城市出差，每人只去一个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲1人去的概率为()A B C D【解析】由题意知，其中一个城市必须有2人去，即把4人分成3组，每组分别有2人、1人、1人，共有C种分法，再将他们分到三个城市，共有CA种分法若A城市恰好只有甲1人，则把剩下的3人分成2组，每组分别有2人、1人，有C种分法，再将他们分到B，C两个城市，共有C
4、A种分法，因此所求概率P.故选D项考点二随机变量的分布列1超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.2二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.考向一超几何分布【典例】2如图，在直角坐标系中，圆的方程为x2y21，A(1,0)，B，C为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子规定：每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻的下一个定点；棋子移动的
5、方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动，若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为Pn(A)，Pn(B)，Pn(C)例如，掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1(A)0，P1(B)，P1(C).(1)分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；(2)掷骰子n次时，若以X轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量Xn，求X4的分布列和数学期望；(3)记Pn(A)an，Pn(B)bn，Pn(C)cn，其中anbncn1证明：数列是等比数列，并求a2 020【解
6、析】 (1)由题意得，P2(A)，P2(B)，P2(C)，P3(A)，P3(B)，P3(C).综上，将结果统计为表格形式如表所示.棋子位置掷骰子次数ABC23(2)由题意得，随机变量X4的可能数值为1，所以P(X41)(P3(B)P3(C)，P(P3(A)P3(C)(P3(A)P3(B)，所以随机变量X4的分布列为X41PE(X4)1.(3)证明：易知bncn，因此bn1cn1(n2)，而当n2时，bn(an1cn1)(an1bn1)，又an1bn1cn11，即2bnbn11，所以bn(1bn1)bn1(n2)，故bnbn1bn1(n2)，所以数列是以b1为首项，公比为的等比数列所以bnn1，
7、又an12bn12n1，故a2 020.【拓展训练】2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天
8、，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列【解析】解(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A).(2)由条件知，服从超几何分布，其中N10，M3，n3，且随机变量的可能取值为0,1,2,3.P(k)(k0,1,2,3)P(0)，P(1)，P(2)，P(3).故的分布列为0123P考向二二项分布【典例】32019年是中华人民共和国成立70周年为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6
9、段：20,30)，30,40)，70,80，并绘制了如图所示的频率分布直方图(1)现从年龄在20,30)，30,40)，40,50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用X表示年龄在30,40)内的人数，求X的分布列和数学期望；(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在30,50)的概率为P(Xk)(k0,1,2，20)当P(Xk)最大时，求k的值【解析】 (1)按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在20,30)内的人数为81(人)，年龄在30,40)内的人数为82(人)，年龄在40,50)内的人数为85(
10、人)所以X的可能取值为0,1,2，所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以X的分布列为X012PE(X)012.(2)设在抽取的20名市民中，年龄在30,50)内的人数为X，X服从二项分布由频率分布直方图可知，年龄在30,50)内的频率为(00100025)10035，所以XB(20,0,35)，所以P(Xk)C(035)k(1035)20k(k0,1,2，20)设t(k0,1,2，20)，若t1，则k735，P(Xk1)P(Xk)；若t735，P(Xk1)P(Xk)所以当k7时，P(Xk)最大，即当P(Xk)最大时，k7【拓展训练】3某机器生产商对一次性购买2台机器的客户推出2种超过质保
11、期后2年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金6 000元，在延保的2年内一共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1 500元；方案二：交纳延保金7 740元，在延保的2年内一共可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元某工厂准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后2年内维修的次数，统计得下表：维修次数0123机器台数20104030以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后2年内共需维修的次数(1)求X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，该工厂选择
12、哪种延保方案更合算？【解析】解(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6，P(X0)，P(X1)2，P(X2)2，P(X3)22，P(X4)2，P(X5)2，P(X6)，X的分布列为X0123456P(2)设选择方案一所需费用为Y1元，则Y1的分布列为Y16 0007 5009 00010 50012 000PE(Y1)6 0007 5009 00010 50012 0008 580.设选择方案二所需费用为Y2元，则Y2的分布列为Y27 7407 740a7 7402aPE(Y2)7 740(7 740a)(7 7402a)7 740.当E(Y1)E(Y2)8400，即0a2 000时
13、，选择方案二更合算，当E(Y1)E(Y2)8400，即a2 000时，选择方案一、方案二均可；当E(Y1)E(Y2)8402 000时，选择方案一更合算专题训练一、单项选择题1.2021安徽模拟某中学举办电脑知识竞赛,满分为100分,80分以上(含80分)为优秀.现将参赛学生的成绩进行整理后分成五组:第一组50,60),第二组60,70),第三组70,80),第四组80,90),第五组90,100.其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05.而第二小组的频数是40,则参赛的人数及成绩优秀的概率分别是()A.50,0.15B.50,0.75C.100,0.15D.100,0.75【解析】由已知得第二小组的频率是1-0.30-0.15-0.10-0.05=0.40,频数为40,设共有参赛学生x人,则x0.4=40 ,所以x=100.因为成绩优秀的频率为0.10+0.05=0.15,所以成绩优秀的概率为0.15.故选C.22021北京模拟围棋盒子中有多粒黑子和白子
