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1、 组合数求和问题剖析一、逆用二项式定理：例1：(2005，天津)设= .解：设规律总结：对于形如(其中组成等比数列)的求和问题，均可逆用二项式定理来解。二、赋值法：例2：求证：证明：在令规律总结：在二项式定理中令取一些特殊值可以解决形如的求和问题。三、倒序相加法例3：求的值。解：设规律总结：因为组合数中成立，与等差数列具有类似的性质，因此对于形如：(其中成等差数列)的式可求和均可利用倒序相加的方法。四、逐项合并法：例4：求的值。解：原式规律总结：利用可求形如：的值。五、裂项相消法：例5：同例3，由得：规律总结：对于组合数的性质的应用，除了正用外，还要注意逆用及变形用即：正用是合并项，而逆用和变
2、形用 把一项拆为两项。六、利用求和：例6：求解1：利用倒序相加法。解2： 七、构造法：例7：求证：证明1：构造排列组合数，这件事可这样来做，将n+m个元素分为两类，一类中含有n个元素，另一类中含有m个元素，不含第一类元素的取法有含K个第一类元素的取法有种不同取法；又由组合定义，从m+n个不同元素中取出K个元素的组合数为所以原式成立 。证明2：构造二项式定理：利用的展开式中项的系数来证。的系数为：的系数为故原式成立。规律总结：此法适用于各项为二个组合数的积，其中各项中组合数下标只出现两个自然数，各项中两个组合数的上标之和为常数，且一个上标由0依次递增到此常数，另一上标由此常数依次递减为0的组合数的求和问题。总之，求含有组合数的数列和要灵活动用二项式定理及组合数的性质。第 1 页 共 3 页
