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1、重叠问题容斥原理就是:在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。公式法:运用容斥原理一:CABAB,这一公式可计算出两个集合圈的有关问题(C表示两个集合的并集,A、B表示两个集合,AB表示两个集合的交集)。运用容斥原理二:DABCABACBCABC,这一公式可计算出三个集合的有关问题。(D表示三个集合的并集,A、B、C表示三个不同的集合,AB、AC、BC表示两个不同集合的交集,ABC表示三
2、个集合的交集)图象法:根据题意画图,并借助图形帮助分析,逐个地计算出各个部分,从而解答问题。例1:某班40位同学在一次数学测验中,答对第一题的有23人,答对第二题的有27人,两题都答对的有17人,问有几个同学两题都不对?例2:某班有学生48人,其中21人参加数学竞赛,13人参加作文竞赛,有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛。那么(1)只参加数学竞赛的有多少人?(2)参加竞赛的一共有多少人?(3)没有参加竞赛的一共有多少人?例3:某校有三个兴趣小组,体育、书法和美术。已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人、24人和30人。同时参加体育、书法兴趣小组的有5人,同时参加体育、美术兴趣小组的有2人
3、,同时参加书法、美术兴趣小组的有4人,有1人同时参加了这三个兴趣小组,问:共有多少人参加兴趣小组?例4:某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查,结果有58人喜欢语文,有38人喜欢数学,有52人喜欢外语。而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人,喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人,三科都喜欢的有12人,而且每人至少喜欢一科。问有多少同学只喜欢语文?例5:分母是1001的最简真分数有多少个?它们的和是多少?例6:某商店调查该商店出售的A、B两种商品销售情况,在被调查的家庭对象中,有不用A商品,有不用B商品,另外有22家既用A商品也用B商品,有的家庭则两种产品都没有用,问该商店共调查了多少户家庭? 例7:某班学生中78%喜欢游泳,80%喜欢玩游戏机,84%喜欢下棋,88%喜欢看小说。该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少?1、一批教师中,会英语的有65人,会俄语的有58人,会日语的有51人,既会英语又会俄语的有21人,既会英语又会日语的有19人,既会俄语又会日语的有17人,三种都会的有5人,三种都不会的有8人。这批教师共有多少人?2、某班有36个同学,在一次测验中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人,那么两题都不对的有多少人?3、分母是105的最简真分数,共有多少个?4、在11000的自然数中,不能被5或7整除的数共有多少个?