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1、 课时规范练38直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.如果直线l,m与平面,满足:=l,l,m且m,那么必有()A.且lmB.且来源:C.且mD.m且lm答案:A解析:m且m,则;m且l,则lm.2.设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件是()A.ac,bcB.,a,bC.a,bD.a,b答案:C解析:对于选项C,在平面内存在cb,因为a,所以ac,故ab;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出ab.3.给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;若一个平面经过另一个平面的垂
2、线,那么这两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.和B.和C.和D.和答案:C解析:当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故不对;由平面与平面垂直的判定定理可知正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面,故不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故正确.4.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面P
3、AED.平面PDE平面ABC答案:D解析:因为BCDF,所以BC平面PDF,A成立;易证BC平面PAE,BCDF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.5.下面四个命题:“直线a直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”;“直线l平面内所有直线”的充要条件是“l平面”;“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.答案:C解析:是既不充分也不必要条件.6.若平面平面,平面平面=直线l,则()A.垂直于平面的平面一定平行于平面B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面C.垂直于平面的平
4、面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直答案:D解析:对于A,垂直于平面的平面与平面平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面垂直、斜交、平行或在平面内,故B错;对于C,垂直于平面的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.7.如图,在棱长为4的正四面体A-BCD中,M是BC的中点,点P在线段AM上运动(P不与A,M重合),过点P作直线l平面ABC,l与平面BCD交于点Q,给出下列命题:BC平面AMD;Q点一定在直线DM上;VC-AMD=4.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.答案:A解析:AMBC,DMBC,BC面AMD,故正确;也正确;中,VC-AMD=V
5、A-BCD,A到底面BCD的距离AO=,VA-BCD=44,VC-AMD=.二、填空题8.设l,m是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列5个命题:若m,lm,则l;若m,l,lm,则;若,l,m,则lm;若,l,m,则lm;若,=l,ml,则m.其中正确的命题的序号是.答案:解析:l可能在内,错;l若在内可能与m相交,错;n垂直于交线,不一定垂直于,错.9.如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于A,B的任一点,PA平面ABC,则图中共有个直角三角形.答案:4解析:PA平面ABC,PAAB,PAAC.PAB,PAC为直角三角形.又C为圆周上一点,ACB=90.来源:ACB为直角三角形.由B
6、CAC,PABC,BC平面PAC.BCPC.PCB为直角三角形.10.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案:DMPC(答案不唯一)解析:由定理可知,BDPC.当DMPC时,即有PC平面MBD.而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.来源:11.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在直线上.答案:AB来源:解析:由ACAB,ACBC1,AC平面ABC1,AC平面ABC,平面ABC1平面ABC,C1在平面
7、ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.12.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P在AD上运动,设ABP=,将ABP沿BP折起,使得平面ABP垂直于平面BPDC,AC长最小时的值为.答案:45解析:过A作AHBP于H,连接CH,AH平面BCDP.在RtABH中,AH=3sin ,BH=3cos .在BHC中,CH2=(3cos )2+42-243cos cos (90-),在RtACH中,AC2=25-12sin 2,=45时,AC长最小.三、解答题13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.(1)求证:直线AE直线DA1;(2)在线段AA
8、1上求一点G,使得直线AE平面DFG.(1)证明:连接AD1,BC1,由正方体的性质可知,DA1AD1,DA1AB,又ABAD1=A,DA1平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1,DA1AE.(2)解:所求G点即为A1点,证明如下:由(1)可知AEDA1,取CD的中点H,连接AH,EH,由DFAH,DFEH,AHEH=H,可证DF平面AHE,DFAE.又DFA1D=D,AE平面DFA1,即AE平面DFG.14.如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB的中点.(1)求证:CD平面SAD;(2)求证:PQ平面SCD;(3)若SA=S
9、D,M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,所以CDAD.又平面SAD平面ABCD,且平面SAD平面ABCD=AD,所以CD平面SAD.(2)证明:取R为BC的中点,连接PR,QR.因为Q,P,R分别为SB,AD,BC的中点,所以QRSC,PRDC.因为QRPR=R,QR,PR平面PQR,所以平面PQR平面SCD.又PQ平面PQR,所以PQ平面SCD.(3)解:存在点N,使得平面DMN平面ABCD.证明:连接PC,DM交于点O,连接SP.因为SA=SD,P为AD的中点,所以SPAD.因为平面SAD平面ABCD,
10、平面SAD平面ABCD=AD,所以SP平面ABCD,SPPC.在SPC中,过O点作NOPC交SC于点N,此时N为SC的中点,则SPNO,则NO平面ABCD.因为NO平面DMN,所以平面DMN平面ABCD,所以存在满足条件的点N.15.已知正四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的正方形,高为.M为线段PC的中点. (1)求证:PA平面MDB;(2)N为AP的中点,求CN与平面MBD所成角的正切值.(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,连接AC交BD于点O,连接OM,PO.由条件可得PO=,AC=2,PA=PC=2,CO=AO=.因为在PAC中,M为PC的中点,O为AC的中点,所以OM为PAC的中位
11、线,得OMAP,又因为AP平面MDB,OM平面MDB, 所以PA平面MDB.(2)解:设NCMO=E,由题意得BP=BC=2,且CPN=90.因为M为PC的中点,所以PCBM,同理PCDM,故PC平面BMD.所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM,MEC为直线CN与平面BMD所成的角,又因为OMPA,所以PNC=MEC.在RtCPN中,CP=2,NP=1,所以tanPNC=2,故直线CN与平面BMD所成角的正切值为2.四、选做题1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持APBD1,则动点P的轨迹是()A.线段B1CB.线段BC1C.BB
12、1中点与CC1中点连成的线段D.BC中点与B1C1中点连成的线段答案:A2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,过A点作平面A1BD的垂线,垂足为点H,有下列三个命题:点H是A1BD的中心;AH垂直于平面CB1D1;AC1与B1C所成的角是90.其中正确命题的序号是.答案:解析:由于ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以A-A1BD是一个正三棱锥,因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心,故正确;又因为平面CB1D1与平面A1BD平行,所以AH平面CB1D1,故正确;因为B1CBC1,ABB1C,且ABBC1=B,所以B1C平面ABC1,即AC1与B1C垂直,
13、所成的角等于90.3.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,PA平面ABCD,且ADBC,ADDC,ADC和ABC均为等腰直角三角形,设PA=AD=DC=a,点E为侧棱PB上一点,且BE=2EP.来源:数理化网(1)求证:平面PCD平面PAD;(2)求证:直线PD平面EAC;(3)求二面角B-AC-E的余弦值.(1)证明:PA平面ABCD,DC平面ABCD,DCPA.又ADDC,且PA与AD是平面PAD内两相交直线,DC平面PAD.又DC平面PCD,平面PCD平面PAD.(2)证明:连接BD,设BD与AC相交于点F,连接EF,在等腰直角ADC中,ADDC,DAC=ACD=.又ADBC,ACB=DAC=.又ABC为等腰直角三角形,且底面ABCD是直角梯形,BAC=.(若B为直角,则与底面ABCD是直角梯形相矛盾)由AD=DC=a,易知AB=AC=a,BC=2a,BCAD且BC=2AD,BF=2FD.又BE=2EP,PDEF.又EF平面EAC,PD平面EAC,直线PD平面EAC.(3)解:过点E作EHPA交A
