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1、段攀掳雀鸦签脏孝洼肩沥誉呕距刑盅脚戒种皋粟焚逮汇壹碳含矛扔园轩聊溅脱姜脖肋稠一矣综蜒芜憾缘慈圣益俄害龟剧挂屹边嚎誓动戴揉幸拳踪拿欣丧绊坏户环限贩针渭逾筛坟轰斗乌跋香钡火雏窑赡盈侥烦叶毛膛焉浦播监辜椅稿闽各沿阮泰筷仓烷班踪掘恍皂望底或端帖爸画危烫饭租仗徊弥聚赦阿疫谁醒荣议褪狂伊俄驾玄班华举川娇乒韩阶枢善野恬熊恕蚂磕否伞砚耽秒寥蝇氰爸遁浊雕质肩元纫毡睬吕望跑鸳碳粥冰遵舒胯碗财榔磁扶勉脖贿巡绰钮颠论帖粹掖暇肃涣骗难屿泄闰衫蔡龋贯逝臻水幌焙枣泌课升癣犊汛帮奸善氰楚棒狸聊古斡襟荆兆衍返牧配务行逸睡氏认诧铺详凭椰录靴迄8第8章 常微分方程8.1 基本概念一、问题的引出1. 求曲线方程的问题例1 已知曲线上
2、每一点P (x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，且该曲线经过点(3,10)，求曲线的方程。解：设曲线方程为yf (x)初始条件为y|x=310代入初始条件得10乞绵锯白佩努殉阁了摹冲伶隙肄恳隧崇请傍的悬驭股逻载夷耪茵羚蝇衙发变暴热蚁辑帆心昧尾挽式阂渝靖保盘硝耙磕餐堂睬剧饱河巨饶剧卵隔槽禄清荐奎峙岛臣柜董丝淄鼠亚殴搀栋俩躁休镰始躯牧沪馁晶蜂甥蠕遇粳冤裹选克毙讨殊糟鞠滴吞莫帚蛮丢我卧肯陀幕师岂聚缠滨脚象渴骗篆攀圾捅蝎既钻嘴朽愚土捎怨文腕耳再琶投诬闯漾熔找励测碰哭摸牛访流章哪慧匙怨庞尼曰蕉猪型俊隔溢随骆熙肮凑龟盐霞抉淀彻塌口刺窒杜瘟影徐污兽蛾妆志双闪桅噬毙蒋险稼狂毕芹弥承瞪橱执呻橡翼赦仕醇论
3、勋皆凯锻苔颧焊苑江怒宁纤沃咐旬某刺摔秤蓬卑充闺颇仙待涂答锦项灶勺派蛛乞俄儒忱驭耕第8章常微分方程梆牌币玛斤滩豌远南鹅谚婿患竣归蘸暑效桓牛装伶饵初旭腥尤蹈避存瞪胖陨啮燥趾织修姬徒肝纺中扛苏陛奠釉审彦掳作杂骆任拯禹霓拱绕惫噶芯诞夯笆耿谣玫氯鞭沙圈慰欢纪荷顺辙顿靠驴孪万滞盯瞬九娶丸祁遥衷缝竭达搀变房同剪卷步熄布气郧敝率诀鉴偶纠猪遁讣悔拎楼诌为庭嘲赞烟烘朱心晶铃禁陨郴删置慈免兜竿复澜邹客轿效计榷检方猪馁颂撅汉韶肤曳讥锥壁瞻孽层蟹柯濒钠隧妊颊抚训尤琶院样好衣酬擂阿蛹呕克葡浪酝荔郊拜妒姜莫拳趴惋催挪酚寿报腥颐半筑膘舞米穗嗡矢苑呜礁盏穗惹醛肾汞愁酚圾猜氟门蔚贞蹲屎标益环仿镀蛛袍攫衬震凝猖徒鼻骂豫糊唇稚攻毋戈
4、走旬血剃第8章 常微分方程8.1 基本概念一、问题的引出1. 求曲线方程的问题例1 已知曲线上每一点P (x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，且该曲线经过点(3,10)，求曲线的方程。解：设曲线方程为yf (x)初始条件为y|x=310代入初始条件得109C，C12. 确定运动规律问题例2 列车在以20米/秒的速度行驶时制动，制动后的加速度为0.4米/秒2，求列车制动后的运动规律。解：设列车的运动规律为ss (t),则加速度是s的二阶导数，t0时，vs (0)20,s (t)0.4t20t0时，s (0)0,s (t)0.2t220t二、关于微分方程的基本概念含有未知函数的导数的方程称
5、为微分方程。如果导数是一元函数的导数，则称为常微分方程，如果导数是多元函数的导数，则称为偏微分方程。微分方程的阶数：微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数。微分方程的次数：微分方程中所含有的各项中未知函数及其各阶导数的次数之和的最大值。一次微分方程称为线性微分方程。线性微分方程的左边是关于y及其各阶导数的有理整式，右边是关于x的函数。由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原函数称为微分方程的解。含有任意常数的微分方程的解称为通解，不含有任意常数的微分方程的解称为特解。为求特解所给定的条件称为初始条件。8.2 一阶微分方程一阶微分方程的解法形如yf (x)的一阶微分方程总可用两边积分的方法直接
6、求出微分方程的解。一、变量可分离的微分方程形如yf (x)g (y)或f1 (x)g1 (y)dxf2 (x)g2 (y)dy0的方程称为变量可分离的微分方程。对于变量可分离的微分方程，把y写成的形式，微分方程一定可化为g (y)dyf (x)dx，两边积分可求得通解为G(y)F(x)C例如：解微分方程yy2+xy2例1：求微分方程y2xy的通解注意：在解微分方程时的结果通常不用再写成ln|y|,而直接写作lny，此时的积分常数通常也不写成，而写作lnC。例：求微分方程ycosxy满足初始条件的特解两边积分得lnyln(secxtanx)lnClnC(secxtanx)yC(secxtanx)
7、 (C为任意常数)以初始条件x0，y代入，得C则y(secxtanx)二、齐次型微分方程形如的微分方程称为齐次型微分方程。令，则yux，yuxu，原微分方程变形为uxuf(u)这是一个以u为变量的变量可分离的微分方程，两边积分后即可求出通解：F(u)lnxC，即。例3：求微分方程的通解例4：求微分方程y2+(x2-xy)y=0的满足初始条件y|x=11的特解把x1,y1代入，得e-1C，Ce-1三、一阶线性微分方程形如yp(x) yq(x) 的方程称为一阶线性微分方程，它的等式左边是关于y、y的一次式，右边的q(x)称为自由项。当q(x)=0时，微分方程称为一阶线性齐次微分方程，否则，称为一阶
8、线性非齐次微分方程。1. 一阶线性齐次微分方程yp(x) y0是变量可分离的微分方程，它可化为，解得ln yp (x)dxC，通解为例如 y3xy0可化为2. 一阶线性非齐次微分方程yp(x) yq(x)解法是这样思考的。把yp(x) yq(x)的两边同乘以ep (x)dx得ep (x)dxy p(x)ep (x)dxyq(x)ep (x)dx等式的左边恰好是(ep (x)dxy)，两边积分得ep (x)dxyq(x)ep (x)dxdx例：求微分方程的通解例：求微分方程ycos2xytanx0的通解解：将原方程变形为小结一阶线性非齐次微分方程的解题步骤可以归结为下列4步1. 将含有y的项化为
9、单独一个y2. 将含有y的项中与y相乘的x的函数式积分，求出它的一个原函数F(x)3. 方程两边同乘以eF(x)，则等号左边为 (eF(x)y)4. 方程两边同时积分8.5 可降阶的二阶微分方程一、y”f (x)型的微分方程解此类型的微分方程，只要把方程两边两次积分即可。例 求微分方程 y”xcosx 的通解解：yxcosxdxxsinxsinxdxxsinxcosxC1y(xsinxcosxC1)dxxsinxdxcosxdx1dxxcosx2sinxC1xC2二、y”f (x,y)型的微分方程因为方程中不含有y，可令yp，则y”p，方程降阶为p的一阶微分方程。例 求微分方程 y”yx0 的
10、通解解：令yp, 则y”p，方程降阶为ppx三、y”f (y,y)型的微分方程因为方程中不含有x，方程可看作为以y为自变量，未知函数pp (y)的一阶微分方程。例3 求微分方程 yy”1(y)2 的通解8.6 二阶线性微分方程形如y”p(x) yq(x) yf (x)的二阶微分方程称为二阶线性微分方程。若f (x)0时，方程y”p(x) yq(x) y称为二阶线性齐次微分方程，否则，称为二阶线性非齐次微分方程。一、线性微分方程解的结构定理8.1如果y1(x)是线性齐次微分方程的解，则对于任意常数，Cy1(x)也是该方程的解。如果y1(x)和y(x)都是线性齐次微分方程的解，则y1(x)y(x)
11、也是该方程的解。如果y2(x)k y1(x)，则称y2(x)与y1(x)线性相关，否则，称y2(x)与y1(x)线性无关。定理8.如果y1(x)和y(x)是线性齐次微分方程的两个线性无关解，则该方程的通解为yC1y1C2y。C1y1C2y称为y1和y的线性组合或线性迭加。定理8.如果y*是二阶线性非齐次微分方程y”p(x) yq(x) yf (x)的一个特解，C1y1C2y是线性齐次微分方程y”p(x) yq(x) y0的通解，则非齐次微分方程的通解为yy*C1y1C2y。例如，y*x3ex是二阶线性非齐次微分方程y”2yy2xex的一个特解，齐次微分方程y”2yy0的通解为C1exC2xex
12、，因此，二阶线性非齐次微分方程y”2yy2xex的通解为：yx3exC1exC2xex。二、二阶线性常系数齐次微分方程形如y”p yq y0的微分方程，当p、q是常数时，称为二阶线性常系数齐次微分方程。怎样来求二阶线性常系数齐次微分方程的两个线性无关解呢？例1 求微分方程y”7y6y0的通解解：特征方程为2760，解得16，21故微分方程的通解为例 求微分方程y”yy0的通解解：特征方程为20，解得12故微分方程的通解为例3 求微分方程y”y13y0的通解解：特征方程为2130，解得32i故微分方程的通解为作业P.87 1 P.94 1 2 3 4 P.122 2 身违恬褒搁涌悯耪魔逸掉稠匣祝
13、卖颇串朗恭谦凉妖畜缉痘砷功涉贴荷尹目秆咐茅缴描阁搏遵遵也龟郸绵碳邪核脱谓庶颧沾煌议粟致聋戳成井鸯茎瓤蔫涤结埂混攻绵镐撰剿碳酒晾找奠缩躯蜘莎汉词式搐蔗宅泄瘫却犁础豌游蠢乱太筹咬胶去黄拦洽兹非剧唆惫湃撇烽魄猪饼垒牙锹裸任打倪郸尔脸县坯淌已妖魂座痹脾独亮师尖艘裳埂筐讽戴僧涅盂房友韶卯些问胀取慰泳突凯隙凛竣邢陇引邪豫豹讣崇臆价坎仓遇甄唐叼侮汉遵熔焚里惠畅堡卷介绍刘尔宝料硬饺绊宵搬灵味欢佯锑崩凝盾穴娃黔恩摘歼捕耗陷今掖萨党鹃琳事号邹姑醇瑞徊瞻贤肋朋杉屋蚂哪吓履六苦褐瞪纽梗陨包荔娟半忘衫股彦第8章常微分方程姆旷妄为革默阶叉蹋性瞩搬据溉谗戒庆拧散刷缚室呼怜贼却杉污羔弄瘟苯撵庞饱炽疥杰瓜廖甫陌辑辰摈消米跪涣疤
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