《自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章：控制系统的数学模型 引言系统数学模型描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达 式。建模方法机验法析法识法）本章所讲的模型形式复域微传分方程 控制系统时域数学模型1、线性元部件、系统微分方程的建立(1) L-R-C 网络.丄R ，丄 1=1.u + u +u uc L c LC c LC rLH2阶线f虬 jC（2）弹簧一阻尼器机械位移系统分析A、B点受力情况k(x x ) = k x1 i A1 A解出xAk=x 一一xi k 01代入B等式：f(仪一邑&一 &) = k xi k 002 01得：f (k + k + k k x = fk &1201201i一阶线性定常微分
2、方程（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：U = R -i + E 一克希霍夫ab电枢及电势：E = C “ 一楞次be m电磁力矩：M = C - i 一安培力矩方程：J （& + f=M 一牛顿m m m m m变量关系：Mmm4）X-Y 记录仪（不加内电路）消去中间变量有：T解髯k kkkk l = kkkk u 一二阶线性定常微分方程 m 1 2 3 4 m 1 2 3 m a隔 1 & kkkkk 、 kkkk即：啓 P+- 3 4 ml 二3 mUTTT ammm2、线性系统特性一一满足齐次性、可加性线性系统便于分析研究。在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 非线
3、性元部件微分方程的线性化。例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点。处的线性化增量方程 0解：在a = a处线性化展开，只取线性项：0令 Ay = y（a）-y（a ）0得i Aa003、用拉氏变换解微分方程解2+ 2l = 2u（初条件为0）a复习拉普拉斯变换的有关内容1 复数有关概念(1)复数、复函数复数 s =c + j复函数F(S)二F + jFx y例: F(s )= s + 2 = c+ 2 + j(2)复数模、相角(3)复数的共轭(4)解析：若F(s)在$点的各阶导数都存在拉氏变换定义几种常见函数的拉氏变换1.单位阶跃：40 :;002.3.10t 0f0t 0正弦函数:指数函数
4、拉氏变换的几个重要定理点解析。|F|F滋在ZF1 2 3LS(1)线性性质：Llaf (t) + bf (t)L aF + bF 21 2 1(2)微分定理：Lf (t)L s -F(s)-f(0)进一步：L f (n)(t) = SnF (s )-Sn-1f(0 )Snf(0 )-L - sf )(0 )-f (n-1)(0 ) 零初始条件下有：Lf (n)(t止Sn Ft)例 2：求lLos11解： 0 cost = L|sint1= - s -=SS2 + 2S2 + 2（3）积分定理：lfGhtl1 F（s）+ if（-1）（0） 零初始条件下有：l f （t h=1F（s）s证略）进
5、一步有：例 3：求 Lt二?例4：求L 2解：O 耳tdt4）位移定理实位移定理：Lf(t-JL e -Ts F(s )例 5： f(t)=0 t 0 1 0 t 0解: f(t) = l(t) - 1(t -1) 虚位移定理：lLf (t)L F(s-a)证略）例 6：例 7：例 8：5）终值定理（极限确实存在时） 证明：由微分定理f f心丄-stdt = sF(s )- f (0)0取极限： lim f f 心:e -st dt = limsF(s)- f (0)st0stO 有：f d limsF(s)证毕stO例 9: F(s)= -f 1)z)求f (a)sE + a 丿S + b
6、丿 例10： f (a)=sint|丰 lims =0t Ta s t 0 s2 + 2拉氏变换附加作业一. 已知 f(t),求 F(s)二？二. 已知 F(s),求 f(t)=?5.拉氏反变换(1)反变换公式：f(t)=丄产+jaF(s).estds2兀 J O-ja(2) 查表法分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)微分方程一般形式：F(s)的一般表达式为:来自 C(n)+ a C(n-i)+ A + a C + C = b r(m) + b r(m-i)+A+ b rf + b r 】(I)1n-101m-1 m其中分母多项式可以分解因式为：(II)A(s) = (s - p )(s
7、 - p )A (s - p )12np为A(s)的根(特征根)，分两种情形讨论：iI： A(s) = 0无重根时：(依代数定理可以把F(s)表示为：)即:若 c 可以定出来，则可得解 ic = lim(s - p ).F(s)iisTpic B(s)c -i而c计算公式:i(I)A(s) s=Pi(说明(III)的原理，推导(111，)例 2： F(s)二缶不求f(t)二?解：F(s)=s + 2(s + 1)(s + 3)cc=+ 2s +1 s + 3例 3: F(s)二 s2 + 5s + 5，求f(t)二?S2 + 4s + 3 例4：解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)s
8、+ 3s + 3ccF(s) =1+2S2 + 2s + 2 (s +1 - j)(s +1 + j) s +1- j s +1 + j解法一：12j2 + j)ejt - (2 - j)e-jtejt - e- jt &= sin t,2jejt + e - jt=cost 丿2j解法二：II： A(s) = 0有重根时:设p为m阶重根，s ,As为单根贝Uf(s)可表示为：1m+1n其中单根c ,A c的计算仍由(1)中公式(III) (III，)来计算.m+1n重根项系数的计算公式：(说明原理)例5F(s)二s + 2s(s + 1)2(S + 3)求 f(t)二?3.用拉氏变换方法解微
9、分方程微分方程，引出传函概念。R如右图RC电路：初条件：u(0)二输入 u (t)二 E .1Lr0解：F(s)=二 +二 + 二 + 厶(s +1)2 s +1 s s + 3例：l + 21 + 21 = 2 Ur解: L：s2 + 2s + 2 L(s)=-s举例说明拉氏变换的用途之一一解线性依克西霍夫定律:L变换：依(*)式可见，影响CR电路响应的因素有三个:1：输入U少)1分析系统时，为在统一条件下衡量其性能2:初条件u Ic0输入都用阶跃，初条件影响不考虑3:系统的结构参数 只有此项决定系统性能1二Uc(S)零初条件下输入/出拉氏变换之比(不随输入形式而变) CRs +1 U r2
10、-3线性定常系统的传递函数一一上述CR电路的结论适用于一般情况一般情况下：线性系统的微分方程：C(n)(t) + a C(n-i)(t) + A + a C(t) + a C(t)br(m)(t) + br(m-i)(t)+A + b r(t) + b r(t)1 S + a s +5)m-1m1n-1简单讲一下：传递函数的标准形式：I： D(s)为首1多项式型：G(s)II： D(s)为尾1多项式型：G(s)去K:开环增益开环增益的意义：般情况下：K* (sz )A (sz ) K* sm + b *Sm_i +A + b * 首 1 型：G(s)1片I 1 I Si (sp )A (sp
11、) Si sn-1 + a *Sn_i-1+A + a *1n-l1n lg( X K(r s+1)A (r s+1)tbsm + bsm1+A+1】尾1 型：si(Ts+1)A (T s+1) Si laini +d Sni1+A +1】 (2)1n i01由(1)式.Sb * =冋(-z )miz 为零点ii=1a * = H (- p )n -lii=1p 为极点i*ma* n-l比较(2)： K*l_ = Kb*K = Ka*n-lHm (-zi)i=亦ii=1首1型多用于根轨迹法中尾1型多用于时域法，频域法中.传递函数定义：条件.lr(0) = r (0) =A = r(n-1)(0
12、) = 0c(0) = c(0) = A = c(m-i)(0) = 0定义：有关概念：特征式，特征方程，特征根零点z 使G(s) = 0的S值iR(s)G(s)c(s)A极点P使G(s) = g的s值 jK = bm :传递函数，增益，放大倍数一bm = K = c()r(t)=1tlims，1G(s)系统本身的结构参数注(1)为何要规定零初始条件？分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统：输入：都用阶跃输入. 初条件：都规定为零为确定一个系统的起跑线而定. 则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数)(2) 为何初条件可以为零？1) 我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的.2) 绝大多数系统，当输入为0时，都处于相对静止状态.3) 零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化 时)(3) 零初条件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解.可以由G(s)回到系统微分方程，加上初条件求解.二 .传递函数的性质：1. G(s):复函数，是自变量为s的有理真分式(mWn)a ,b均为实常ii数.mn的解释：1) .实际系统都存在惯性，从微分方程上反映出来，即C(s)的阶次比R(s)阶次高.反映到G(s)上即有分母阶次n上分子阶次m.2) .反证法：设mn则：说明：2. G(s): 只与系统
