《高考数学一轮复习学案人教版A版――平面向量的概念及运算高中数学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习学案人教版A版――平面向量的概念及运算高中数学（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20X年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版)平面向量的概念及运算一.【课标要求】()平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（）向量的线性运算通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义;通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义;了解向量的线性运算性质及其几何意义.(3)平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.二.【命题走向】本讲内容属于平面向
2、量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大,分值59分。预测202X年高考：（1)题型可能为1道选择题或道填空题；(2)出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。三.【要点精讲】向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如：.几何表示法,；坐标表示法。向量的大小即向量的模（长度）,记作即向量的大小，记作|。向量
3、不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量长度为0的向量，记为,其方向是任意的,与任意向量平行.零向量|=0。由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量，故在有关向量平行(共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别）单位向量模为个单位长度的向量,向量为单位向量|。平行向量（共线向量)方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作。由于向量可以进行任意的平移（即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚
4、共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合,记为。大小相等，方向相同。向量的运算（)向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法.设,则+=。规定:(1);（）向量加法满足交换律与结合律;向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2）三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这
5、些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作，零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：(i)=； (ii) +（)=()+=；(i）若、是互为相反向量，则，=，+=。向量减法向量加上的相反向量叫做与的差，记作：.求两个向量差的运算，叫做向量的减法.作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)。（3）实数与向量的积实数与向量的积是一个向量,记作，它的长
6、度与方向规定如下:()；(）当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反；当时，,方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律.两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得。.平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5.平面向量的坐标表示（1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中,分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底.由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成,由于与数对(x,y)是一一对应的,因此把（x,)叫做向量的坐标,记作(x，),其中x叫
7、作在轴上的坐标,叫做在y轴上的坐标。规定:（1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量;（2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关系。（)平面向量的坐标运算：若，则；若,则；若=(x,y),则=（x, y)；若，则。四【典例解析】题型1:平面向量的概念例(）给出下列命题:若|=|，则=;若,B，C，是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若,，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/,/,则/；其中正确的序号是 。（）设为单位向量,(1）若为平面内的某个向量，则;（2）若与平行，则=|;(3）若与平行且1，则=。上述命题中，假命
8、题个数是（ )AB.1C.2D.3解析：（1)不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确; ，且,又A，,D是不共线的四点， 四边形 AB为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则,且，因此，。正确;=,的长度相等且方向相同；又=, ,的长度相等且方向相同, ，的长度相等且方向相同，故=。 不正确;当/且方向相反时，即使|,也不能得到=，故|且/不是=的充要条件,而是必要不充分条件; 不正确;考虑这种特殊情况； 综上所述,正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生
9、活中的模型进行类比和联想。（2)向量是既有大小又有方向的量,与|模相同，但方向不一定相同，故(1）是假命题;若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=|，故(）、()也是假命题。综上所述,答案选D。点评:向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要分清，理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。题型2:平面向量的运算法则例2.(1)如图所示,已知正六边形ABCD，O是它的中心,若=,试用，将向量,， 表示出来。（1)解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量,来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形ABCEF是正六
10、边形，所以它的中心及顶点A,B，C四点构成平行四边形BC，所以,+，= +，由于A,B,四点也构成平行四边形ABOF,所以=+=+=+=+,同样在平行四边形BCDO中，=+（+)=,=-。点评:其实在以A,B,，D，F及O七点中，任两点为起点和终点,均可用，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。（3)（20X湖南文，4）11.已知向量,，则=_.【答案】2 【解析】由（4)(02X年广东卷文)已知平面向量a= ,b=， 则向量 （ )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 答案 C解析 ,由及向量的性质可
11、知,C正确例.设为未知向量,、为已知向量，解方程-(5-4) -30.解析：原方程可化为:( - 3) +（-5+）+ (4-3) , =+ 。点评:平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则,求解时兼顾到向量的性质。题型3：平面向量的坐标及运算例5.已知中，A(2,)，B（,2)，C(3,1),B边上的高为A,求。解析：设D(,），则得所以。例6.已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点)交点的坐标。解析:设,则因为是与的交点,所以在直线上,也在直线上。即得，由点得,。得方程组,解之得。故直线与的交点的坐标为。题型:平面向量的性质例7平面内给定三个向量,回答下列问题:（1）求满足的
12、实数m，n；(2）若，求实数k；(）若满足，且,求。解析:（1）由题意得，所以,得。()，；（3)由题意得,得或。例已知(1）求；(2)当为何实数时,与平行， 平行时它们是同向还是反向?解析:(1)因为所以则(2）,因为与平行,所以即得。此时，,则,即此时向量与方向相反。点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型5:共线向量定理及平面向量基本定理例9（20X北京卷文）已知向量,如果那么( ） A且与同向 B.且与反向 C且与同向 D且与反向答案 解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本
13、运算考查.a,b,若,则cab,db， 显然，a与不平行，排除、B. 若,则cab，dab，即cd且c与d反向,排除C，故选D.点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。例10.(）（06福建理，1）已知1,=,点在AOB内，且OC=30,设=+(m、nR),则等于( ) B3 C. D(2）（202安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示，点C在以为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.答案 2解析 设 ,即题型6:平面向量综合问题例1(02X上海卷文) 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， ， （1） 若/，求证:A为等腰三角形； （2） 若，边长= 2，角=，求C的面积 .证明：(1)即，其中是三角形AC外接圆半径, 为等腰三角形解()由题意可知由余弦定理可知， 五.【思维总结】数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”，能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似,虽然只是个别小题,但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用
