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1、新课标高中数学必修精讲精练精讲 第三章 直线与方程第20讲 3.1.1 倾斜角与斜率学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.知识要点：1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0. 则直线l的倾斜角的范围是.2. 倾斜角不是90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，
2、即直线与y轴平行或者重合. 当=90时，斜率k=0；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.例题精讲：【例1】如图所示菱形ABCD中BAD=60，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解：，.，.【例2】已知过两点, 的直线l的倾斜角为45，求实数的值.解： ， ，解得 或. 但当时，A、B重合，舍去 【例3】已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值解: ， . A、B、C三点在一条直线上， ， 即， 解得或.点评：三点共线时，可以利用斜率相
3、等，由此证明三点共线的一种方法是利用斜率相等. 此外，还可利用两点间距离公式、直线方程等证明三点共线.【例4】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 解：如图所示, 直线PA的斜率是, 直线PB的斜率是.当直线由PA变化到y轴平行位置PC, 它的倾斜角由锐角增至90，斜率的变化范围是5,；当直线由PC变化到PB位置，它的倾斜角由90增至，斜率的变化范围是.所以斜率的变化范围是.点评：分别计算过线段两个端点的直线的斜率，体现了研究问题的一种极限思想. 由图象的运动变化规律，观察得到斜率的变化范围，注意结合
4、倾斜角的比较和的单调性.第20练 3.1.1 倾斜角与斜率基础达标1（01年上海春）若直线的倾斜角为，则等于（ ）. A0 B45 C90 D不存在2过点P(2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）. A.1 B.4 C.1或3 D.1或43已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（ ）. A. 60 B. 30 C. 60或120 D. 30或1504若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（ ）. A B C D5（1995全国卷）右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）. A .k1k2k3B. k3k1k2 C.
5、k3k2k1D. k1k3k26已知两点A(，2)，B(3，0)，并且直线AB的斜率为2，则 .7若A(1，2)，B(-2，3)，C(4，y)在同一条直线上，则y的值是 .能力提高8已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围. 9光线从点出发射入y轴上点Q, 再经y轴反射后过点, 试求点Q的坐标,以及入射光线、反射光线所在直线的斜率. 探究创新10魔术大师把一块长和宽都是13的地毯按图1裁好，再按图2拼成矩形. 计算两个图形的面积，分别得到169与168.魔术师得意洋洋的说，他证明了169=168. 你能揭穿魔术师的奥秘吗？第21讲 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定学习目
6、标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据斜率判定两条直线平行或垂直.知识要点：1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：（1）；（2）.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；.例题精讲：【例1】四边形ABCD的顶点为、，试判断四边形ABCD的形状.解：AB边所在直线的斜率，CD边所在直线的斜率,BC边所在直线的斜率，DA边所在直线的斜率, ， AB/CD，BC/DA，即四边形ABCD为平行四边形.又 ， ABBC，即四边形ABCD为矩形.【例2】已知的顶点，其垂心为，求
7、顶点的坐标解：设顶点A的坐标为 ， ， 即 ，化简为，解之得：. A的坐标为.【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？（2）的倾斜角为45，经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？解： （1） =，. /（2） ， ， 点评：当与的斜率存在时，. 斜率不存在时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.【例4】已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CDAB，且CBADBACD解：设D（，），则， ，即，解得 . D（）.点评：通过设点D的坐标
8、，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的纽带是斜率公式. 解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.第21练 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定基础达标1下列说法中正确的是（ ）. A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等 C. 垂直的两直线的斜率之积为-1 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行2若直线的倾斜角分别为，则有（ ）. A. B. C. D. 3经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（ ）. A4 B1 C1或3 D1或44若， 则下面四个结论：；. 其中正确的序号依次为（ ）. A
9、. B. C. D. 5已知的三个顶点坐标为，则其形状为（ ）. A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断6直线的斜率是方程的两根，则的位置关系是 . 7若过点的直线与过点的直线平行，则m= . 能力提高8已知矩形的三个顶点的分别为，求第四个顶点D的坐标9 的顶点，若为直角三角形，求m的值.探究创新10已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上. （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.第22讲 3.2.1 直线的点斜式方程学习目标：根
10、据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式、斜截式，体会斜截式与一次函数的关系.知识要点：1. 点斜式（point slope form）：直线过点,且斜率为k，其方程为.2. 斜截式（slope intercept form）：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或. 4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程： （1）经过点，斜率是4；（2）经过点，倾斜角是.
11、解：（1）（2），所以直线的点斜式方程为：.【例2】已知直线.（1）求直线恒经过的定点；（2）当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.解：（1）由，易知时，所以直线恒经过的定点.（2）由题意得，解得.【例3】光线从点A（3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（2，6），求射入y轴后的反射线的方程.解：A（3，4）关于x轴的对称点A1（3，4）在经x轴反射的光线上，同样A1（3，4）关于y轴的对称点A2（3，4）在经过射入y轴的反射线上，k=2. 故所求直线方程为y6=2（x+2）， 即2x+y2=0.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问
12、题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程解：由已知得与两坐标轴不垂直直线经过点， 可设直线的方程为，即.则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.根据题意得，即.当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，此方程无实数解.故直线的方程为，或.即或.点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴
13、上的截距.第22练 3.2.1 直线的点斜式方程基础达标1下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）. A. =3 B. =5 C. 2= D. =412方程表示（ ）. A. 通过点的所有直线 B. 通过点的所有直线 C. 通过点且不垂直于轴的直线 D. 通过点且除去轴的直线3直线（0）的图象可以是（ ）. 4已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则直线l的方程为（ ）. A. B. C. D. 5过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线l的方程（ ）. A. B. C. D. 6倾斜角是，在轴上的截距是3的直线方程是 .7 将直线绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15，得到的直线方程是 . 能力提高8已知直线在轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程.
