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1、 第四章 三角函数一、任意角的三角函数知识网络范例精讲【例1】已知是第二象限角，试求：（1）角所在的象限；（2）角所在的象限；（3）2角所在范围.解：（1）是第二象限角， +2k+2k,kZ,即+k+k,kZ.故当k=2m(mZ)时，+2m+2m,因此，角是第一象限角；当k=2m+1(mZ)时，+2m+2m,因此，角是第三象限角.综上,可知角是第一或第三象限角.（2）同理可求得+k+k,kZ,当k=3m(mZ)时， +2m+2m,此时，角是第一象限角；当k=3m+1(mZ)时， +2m+2m+,即+2m+2m，此时，角是第二象限角；当k=3m+2(mZ)时，+2m+2m，此时，角是第四象限角.
2、综上，可知角是第一、第二或第四象限角.（3）同理可求得2角所在范围为+4k22+4k，kZ.评注： （1）注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如090这个区间角，只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.（2）要会正确运用不等式进行角的表达，同时会对k取不同值，讨论形如=+k(kZ)所表示的角所在象限.（3）对于本题第（3）问，不能说2只是第三、四象限的角，因为2也可为终边在y轴负半轴上的角+4k(kZ)，而此角不属于任何象限.【例2】求证：tan2+cot2+1=(tan2+tan+1)(cot2cot+1).证法一:右边=(tan2+tan+1)=tan2+cot
3、2+1=左边.证法二：左边=tan2+cot2+2tancot1=(tan+cot) 21=(tan+cot+1)(tan+cot1)=(tan+cot+1)(tan+cot1)tancot=tan(tan+cot+1)cot(tan+cot1)=(tan2+tan+1)(cot2cot+1)=右边.评注：证明三角恒等式的过程，实际上是“化异为同”的过程.这一过程往往从化简开始.将不同角化为同角以减少角的数目，将不同名函数化为同名函数以减少函数种类，在三角化简证明中有广泛应用.本题也可利用三角函数的定义证明.【例3】化简: +.解法一:（定义法）设点P（x，y）是角终边上一点，且|OP|=r，
4、则将sin=，cos=，tan=，cot=代入得原式=+=+=.解法二:（化弦法）原式=+=+=.解法三:（换元法）设cos2=a，则sin2=1a，tan2=，代入原式，得原式=+=+=.评注: “切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义法、换元法，使三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.【例4】已知sin、cos是关于x的方程x2ax+a=0的两个根（aR）， （1）求sin3+cos3的值；（2）求tan+cot的值.分析:涉及实系数一元二次方程的实根问题，欲求两根的某种组合式的值，则韦达定理必被用上.此题的解题关键在于借助韦达定理和同角三角函数基
5、本关系式先求出实数a.解:依题意，方程判别式0，即（a） 24a0，解得a4或a0，且由（sin+cos）2=1+2sincos，得a2=1+2a.解得a=1+ (舍去)或a=1，即sin+cos=sincos=1.（1）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2sincos+cos2)=(1)1(1)=2.（2）tan+cot=+=1.评注: 对a=1+的舍去，既可依据判别式大于等于零的条件考虑，也可根据a=sincos=sin2，来确定.对于sin+cos、sincos、sincos三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.试题详解高中同步测控优化训练（一）三角函数(一)
6、（A卷）说明：本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.若角与角的终边相同，则角的终边（ ）A.在x轴的非负半轴上B.在x轴的非正半轴上C.在y轴的非负半轴上D.在y轴的非正半轴上解析：由角与角的终边相同，得=k360+，kZ，所以，=k360，kZ.所以，的终边在x轴的非负半轴上.答案：A2.已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为点P（tan，cos)在第三象限，所以
7、tan0且cos0.由tan0得在第二或第四象限;由cos0),(a0),sin= ，sin的值为.答案：C6.若cos(+)=，2，则sin(2)等于（ ）A. B. C. D.解析:cos(+)=，cos=.又2，sin=.故sin(2)=sin=.答案:B7.若是第四象限角，则是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解法一:是第四象限角，2k2k(kZ).2k2k+ (kZ).2k+2k+(kZ).是第三象限角.故选C.解法二:角与角的终边关于x轴对称，角的终边在第四象限，角的终边在第一象限.又角与的终边关于原点对称，角的终边在第三象限.故选C.解法三:特殊值法.
8、令=，则=是第三象限角.故选C.答案:C8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A.2 B. C.2sin1 D.sin2解析:圆的半径r =，=2，弧长l=r=.答案:B9.已知sincos=，且=，则cossin的值为（ ）A. B.C.D.解析：sincos=，(cossin) 2=cos2+sin22sincos=12=.又，cos1(x(0，)的解集为_.解析:（lg20) 2cosx1，即（lg20) 2cosx(lg20) 0，lg20lg10=1，2cosx0，即cosx0.x在第一或第四象限以及x轴的非负半轴上.又x(0，)，x(0，).答案
9、:(0，)14.已知函数f(x)=cos，下面四个等式:f（2x）=f（x）;f（2+x）=f（x）;f（x）=f（x）;f（x）=f（x）.其中成立的个数是_.解析：f（2x）=cos=cos（）=cos=f（x），错;f（2+x）=cos（+）=cos=f（x），错;f（x）=cos（）=cos=f（x），错.故只有正确.答案：1三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分8分）设一扇形的周长为C（C0），当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？解:设扇形的中心角为，半径为r ，面积为S，弧长为l，则l+2r =C，即l=C2r .2分S=lr = （C2r ）r=（r）2+. 5分故当r=时，Smax=，此时，=2.当=2时，Smax=. 8分16.（本小题满分10分）已知6sin2+sincos2cos2=0，），求的值.分析：本题考查同角三角函数基本关系式以及诱导公式等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得（3sin+2cos）（2sincos）=0，3sin+2cos=0或2sincos=0. 2分由已知条件知cos0，即（，）.tan0.tan
