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1、百度文库专用运用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学原载中国数学教育高中版2008 年第 11 期）时红军 严晓凤【摘要】在数学教学中,解题是最重要的活动形式之一。学生对数学概念的形成、数 学命题的掌握、数学思维方法和技能技巧的获得以及学生智力的培养和发展 , 都必须通过解题教学来实现。而波利亚的“怎样解题表”给我们提供了一种解 题方法和套路，本文初步探讨了如何运用波利亚“怎样解题表”有效实施数学 解题教学。【关键词】怎样解题表 解题教学 数学问题乔治波利亚（G.Polya,1887-1985年）是美籍匈牙利数学家、教育家、数学 解题方法论的开拓者.他十分重视解题在数学学习中的作用 ,并对
2、解题方法进行 了多年的研究和实践,绘制出举世闻名的“怎样解题表”,被各国数学界奉为解题 宝典. “怎样解题”表的主要内容，分为“弄清问题、拟订计划、实现计划、 回顾”四个阶段。弄清问题,即明了已知数、未知数和条件;拟定计划,即找出已 知数与未知数之间的联系或者考虑辅助问题 ,并具体拟定一个求解的计划 ;实现 计划,即实现求解计划,检验每一步骤;回顾,即验算所得到的解,并将结果和方法 试着用于其他问题1。每一个阶段又有一系列启发性问句。譬如：未知数是什 么，（在证明题中要求证什么），已知数据是什么、你以前见过它吗、你是否见 过相同的问题而形式稍有不同、你能利用它吗、你能利用它的结果吗、你能利 用
3、它的方法吗、你能用别的方法导出这个结果吗，等等。数学解题教学不同于平常的概念教学,它是运用前面所学的基础理论、基本 方法和一些特殊方法来解数学问题的一种教学方法,它充分体现教师和学生的 数学素质,是目前素质教育不可忽视的内容。 本文试图对如何利用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学作初步探讨。一、“弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成正确的审题方法 首先，必须让学生了解问题的文字叙述。已知是什么?未知是什么?条件是 什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或 者是多余的?或者是矛盾的? 教师可以要求学生重新叙述题目，并能够指出问题 的主要部分。其次，要教会学
4、生形成正确的审题方法。数学问题的给出是通过“数学语 言”达到的。符号语言简洁抽象，图形语言直观形象，而文字语言则通俗易懂。 教师可以教学生利用数学语言的转换来培养学生好的审题习惯，形成正确的审 题方法。例如：对于文字应用题，可以指导他们借助图像、图表将题目中条件 之间的关系表示出来，将冗长拗口的文字叙述，直观的体现在图上，一看就能 明白。这样用简洁明了的图形呈现的视觉形象进行问题表征，能简化看似复杂 的问题，减少工作记忆的负担。再如：对于几何题，要求他们尽量将题目中的 已知条件标在图上，这样文字与图形相结合，就不用看一下题，看一下图，分 散时间和精力了。另外，还要注意引导学生挖掘已知条件与所求
5、之间的关系，特别是挖掘题 中的隐含条件。如计算C 38-n + C 3n，很多学生无从下手，也有学生用组合数公 3n21+n式展开后一看烦琐而丢笔，其实在组合数公式Cm中隐含着限制n 条件m n且m e N ,n e N，所以先解不等式组即I38 -n 3n可求得n=10.3n 21 + n二、“拟订计划”阶段，充分暴露思维过程，传授解题策略很多时候，解题的过程并不是从已知条件到问题目标，而是从问题目标层 层向上反推的过程，有些教师在上课时，分析课文内容似乎顺利流畅，讲解例 题、习题似乎一气呵成。然而，这种表面上的“顺利流畅”，其实掩盖了教师备 课中的深入思考，也可能掩盖教师解决问题时所经历的
6、曲折或失误。这就容易 给一些学生造成错觉:“为什么老师这么聪明，我这样笨 ?”这不利于学生思维 的发展和自信心的形成。有些教师愿意向学生暴露自己的思维过程。当学生问到某些较困难的问题 时，他们愿意和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。学生们不但有机会 学习数学教师解决问题的思想方法，还有机会了解，原来数学教师在解决问题 时也会遇到挑战，也会经历曲折与失误。这对于学生形成正确的解题观，树立 自信心是十分有益的。著名数学家希尔伯特在哥尼斯堡大学学习时，他常常把自己置于危险困难境地，对要讲的内容总是现想现推。这样一来，就使得同学 们有机会瞧一瞧高明的数学思维过程如何进行，数学家是如何接受困难挑战的
7、。 俗话说:失败是成功之母，有时候，失败的教训往往能让成功的过程更加深刻。 例如，求函数y = ；x2 + 4x2 + 2x +10的最值。第一次探索：解析式右边含根式，常用方法是将两边同时平方，得y2 = 2x2 + 2x +14 + 2-x2 + 4 ix2 + 2x +10经过一次平方后右边仍然含有根式，还得再次平方。可是再平方一次后会 出现x 4项，运算非常麻烦。因此不得不转入第二次探索阶段。 第二次探索：通过观察发现右边的被开方式是二次式，能配方。配方的结果是y =、】x2 + 4 +、：(x +1)2 + 9 ,进一步变形为 y = f(x 0)2 + (0 2)2.x- (-1)
8、2 + (0-3)2由此可看出，这个式子表示直角坐标平面内 x轴上的点P(x,0)到两点 A(0,2),B(-1,3)的距离之和，通过画图就可以找出最小值，判断无最大值。这种 解题方法确实巧妙，给学生以美的享受。然而不向学生暴露探索过程，学生只 能陶醉在美的享受中，而受益甚微。这就要求教师把自己在解题时由“失败 成功再失败再成功”的过程展示给学生，让学生真正体会到研究问 题的方法，从而自觉地培养自己。其次，教师应指导学生对数学解题过程进行分析、归纳，把解题过程概括、 提炼，形成数学学习最重要的内容数学的思想和方法。指导学生理解和运 用数学思想方法，传授中学数学解题常用的解题策略:模式识别、问题
9、转化、以 退求进、正难则反等等。三、“实现计划”阶段，加强基础教学，善用一题多变加深和提高解题能 力1、重视非智力因素的作用，规范运算过程。在教学中要重视培养学生科学 严谨一丝不苟的品质。在运算训练中，要抓好教师板书、学生板演、平时作业 等环节，对解题格式、解题过程要作严格的规范;要帮助学生克服运算的惰性， 鼓励学生敢于运算、合理运算、认真运算，不怕麻烦；要帮助学生克服不认真 审题、不认真分析的习惯，使学生养成良好的运算习惯。2、重视基本知识的教学，强化运算基础。在教学中要注重基本知识的讲授， 要帮助学生加强对数学概念的理解，区分邻近概念，对基本公式、法则透彻掌 握。如运用公式和法则的错误：(
10、a + b)3 = a3 + b3 log (M + N) = log M + log N等。aaa在教学过程中，按照理解掌握熟练的要求，编写一些使用概念较多、形式 较灵活的习题，使学生在学习过程中比较那些容易混淆的概念，从而为运算能 力的提高夯实基础。3、在教学中利用变式教学,将题设条件或结论作相应的变化,按照一定的梯 度设置变式题。如对那些铺垫题、迁移题、深化题的练习 ,会使学生快速反馈 , 并能通过变式练习,将所学知识串成一线,联成一体,从而激发学生的学习热情,使 学生达到充分感受学习数学的魅力。如在讲解二次函数闭区间上的极值时,设置 变化题组：(1 )铺垫题：求下列函数的极值。y =
11、X 2 - 2 x + 3, x e 0,3 y = x2 - 2x + 3, x e -2,0 y = x2 - 2x + 3, x e 2,3 ；( 2 )迁 移题：求函数 y = x2 - 2ax + 3,x e 1,3的极值；(3)深化题：求函数y 二 sin2x - 4acosx + 3,x e 0,3 的极值。显然,通过题组的练习，使学生总结归纳二次函数在闭区间上的极值的 求解方法，得到解决相关的问题，从而增强了学生的数学素质,提高了数学解题 能力。四、“回顾”阶段 ，加强解题后的反思教学 所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对审题过程、解题思路、 解题途径、题目结论的反思
12、来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发学习 者的解题智慧，以达到事半功倍，提高中学生数学学科自我监控能力的目的。 教师可以在课堂小结，单元复习时，适时地对某种数学思想方法的关键点或要 素进行概括、强化和揭示，对它的内容、规律、运用等有意识地适度点拨。在 解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的反思：1、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完成后，对自己 最初审题时在理解题意过程中是这样“获取信息”进行再思考。特别是对那些 有过反复曲折过程的问题进行反思，比如获得过哪些信息？遗漏过哪些信息？ 为什么会遗漏这些信息？题意中的哪些信息是自己比较清楚的，哪些信息自己 还不清楚？为什么不清
13、楚？是被题目表面形式所迷惑，还是遗忘了？对条件和 结论之间的哪些关系没有发现，关系转化是否有错误？对条件和结论是否作过 适当讨论？讨论是否全面？以后在理解题意时应该怎样去做？等等。例如：设集合m = (x, y) I 3 = a +1 ，集合 N = x, y) I (a2 1)x + (a 1)y = 15)，、 x - 2_且 M A N = 0 ,求实数 a 的值。错解：M = &x, y) I (a +1) x - y = 2a -1，要使M A N = 0，就是使方程组 (a +1)x - y = 2a -1无解，所以a满足条件 (a 2 -1) x + (a -1) y = 15a
14、 +1 b 11 = -1丰2a-1，解之，得a = -1。教师可引导学生反思：集合M的转化是 a 2 1 a 115否是等价变形？它与由-二3得出x二6有何本质区别？由方程组无解得出2日=二丰 心 的根据是什么？(两条直线平行)(a2 1)x + (a 1)y二15 一 a= x 一 x= 1b 1a 1b 1 ab (1 a)(1 ab) 该法符合学生思维特点，易于找到问题的突破口，但解题过程较长且有一定的 计算量，易于出错。教师可引导学生反思题目结构特征，将已知题目与过去学 过的知识比较联系，若注意到题中含字母a恰好构成等比数列，联想到等比数 列前 n 项和公式的推导方法，便可得到如下简
15、洁解法：设 = 1 + (1 + b)a + (1 + b + b2)a2 + (1 + b + b2 + b3)a3 h, 则aS=a+(l+b)a2 + (l+b+b2)a3 +(l+b+b2 +b3)a4 +,两式错位相减，即可求得 S。通过这 一反思，使学生的思维逐渐朝着灵活、广阔的方向发展，提高了学生灵活解题 的能力。3、反思题目结论。事实上，就问题解决的一个周期而言，问题是问题解 1 a 115定表示直线吗？2、反思解题思路。做完一道题后，应考虑能否根据该题的基本特征与特 殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思维通路，也即培养学生数学 思维的广阔性。一般的，学生学会的第一种解题思路是老师交给的，并会在很 长一段时间内相信和依赖这种思路，然而在解题实践中，解题的思路常常不止 一条，当原来的惯用思路受阻时，学生就会开始迷茫。这就需要老师在解题教 学中，指明多种解题思路，帮助学生学会观察、找出新的解题思路，这有助于 中学生数学学科自我监控能力由局部向整体发展。同时，在做完一道题后，应 认真分析解题过程有没有思维回路，哪些过程可以合并或转换，还有没有更好 的解题途径?这样的反思，有助于缩短解题长度，从而培养了思维的批判性，促 进中学生自我监控能力的发展。例如已知| a l 1,1b 1 1，求无穷数列：1，(1+b)a, (1 + b + b2)a2,(1 +
