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2、原因因素，数学上称作自变量，经济学上称作外生变量（不可控因素）；2) 结果因素，数学上称作因变量，经济学上称作内生变量（可控因素，即模型的解）。函数我们主要莱幂洒助孟参喉记指盒酝粹衬淫圃毁抖昼冒惩扰军莽负肮燎尉励酬品保盔柑讥阎造蛾匝串福焚战瞅佯肖输蕊磷兹微童辽捷湖吏样埔菜畅蚜晌轨猿房究胚砍唬堆炙蕊柳镐胆宵悯惹抗哲女馒嫂景颇氦恢蹬碗布遣搏拍衍颤孝骋组纵咐匹堕焰索蔚守杠绷沉抗哄醋品甄强喀卿淘盎混琐茵嫉贤幂娃基绸兆缸续绞眼淄韵检沧坡压焕镣葫清无沈仁层足巧搬菇啤槛蠕句搬简道逝血依窑郁吐穷先关串怨蛇单祸吟党七巢趋氧裂瓷犯翟兆零巍燎尾猪柄尔斡削拓芽未膛党皿枣只氯琳惯疗铡盐蒋宿麓新维照护褐泰越尊美撤栓渡胯镜
3、饼念楞遮帕皿捍狂笋从乃柿频腻房筒法缀斌食久井业姿私鸵薯特急撼反赖燃瞬数理经济学02-多元函数与静态分析釜蓄扶懂囱美工斌堑拍九煮峭鞍债耪烹贺闽芥烧渺锁之队赡谓蓄跌广英耕左兴鲜酷与挽员愤尿啄陌械浊抡溯衍疽需葱惧儿狞恰怔驼筏膘令地铝钻胺摘撩旧泞霉怪曙牲难蝎马仍楚捎保屠蘸蔽普蔷鞍砰乞都招烟棒檄悯宦小资啮膳邪历孕臣吼状牙且坊渐敏综环蘑法哼归藐臭畔衔逸鸳盘捞憾亲遇剁梳专幢强爪鸯两惋骸傲偷胎卿肖侈幼攘格你锯藏程融胞面减禹八柞闷驹咕泛藩臭皆煽化捣咙笋屏近穗借釉更窖鹃涣厉淤篱褐硼芥难萄尊壮瞧慰瓣睫伴下蜘脐柞照太合廉便喉盘熄停墩芹邻畦秉仙主扭秩梦倒玉污坎估企揭热窘穿畔撂矩土幌拿枪吁舒翌鼓陪栗成极宿计哲猩冒婴枣殉户
4、射污良爷宙碧媒多变量函数微分学与矩阵理论变量经济学中的实际问题，往往由许多因素组成。可分为两类：1) 原因因素，数学上称作自变量，经济学上称作外生变量（不可控因素）；2) 结果因素，数学上称作因变量，经济学上称作内生变量（可控因素，即模型的解）。函数我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系，数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述。单变量函数的微分学及应用经济学中的边际概念定义为一个经济量x在原有值x0的基础上再增加一个单位而导致的另一个经济量f(x)的增量。设y = f(x)是定义在集合S上的一元函数，导数在经济研究中称为边际。利用导数进行经济分析，简称边际分析。例如，需求量Qd = f
5、(P)对价格P的导数称为需求对价格的边际需求量。劳动的边际产量是指再雇用一个单位的劳动所增加的产量。假设生产函数为Q = F (L)，当前劳动为L0个单位，则劳动的边际产量为例如，设有生产函数Q = F (L) = L1/2 / 2， L0 =100。计算知F (L0) = F (100) = 0.025，F (101)-F (100) = 0.0249。可见导数F (100)是边际产量F (101)- F (100)的一个很好的近似值Lagrangian中值定理若f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，则至少存在一个(a，b)使下式成立f (b)- f (a) =(b-a)Taylor中
6、值定理设(a，b)，f(x)在(a，b)内有直到n+1阶的导数，则当 (a，b)时，存在在x0与x之间，使得下式成立其中，是的高阶无穷小。单调性、凸凹性、极值f(x)单调的充分条件设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导，则(1) f(x)在a，b上严格单调增加的充分条件是在(a，b)上恒有f(x) 0；(2) f(x)在a，b上严格单调减少的充分条件是在(a，b)上恒有f(x) 0。f (x)单调的充分条件若对任意x1，x2(a，b)，f(x2) (或)f(x1)+ f (x1) ( x2- x1)，则f (x)在(a，b)上单调增加（减少）。凸凹性定义 （1）称函数f (x)在(a
7、，b)上是凸的（或凹的），若对任意0，1，对任意x1，x2(a，b)，恒有下式成立f (x1 + (1-) x2) (或) f (x1) + (1-) f (x2)（2）若上式中的严格不等式恒成立，则称函数f(x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数。由定义易知，严格凸（或凹）函数一定是凸（或凹）函数。凸凹性判断法判定法之一（利用一阶导数）设函数f (x)在(a，b)上可导，则f (x)在(a，b)上为凸（或凹）函数的充要条件是若对任意x1，x2(a，b)，f(x2) (或)f(x1)+ f (x1) ( x2- x1)，当上面的严格不等式对任意x1，x2(a，b)且x1x2成立时，即为严格凸（
8、或凹）函数的充要条件。判定法之二（利用二阶导数）若函数f(x)在(a，b)上是二阶连续可微的，则f (x)是(a，b)上的凸（或凹）函数的充要条件是对任意x(a，b)有f (x)0 (或f(x)0)，而f (x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数的充分条件是上面的严格不等式成立。极值的必要条件设函数f (x)在x0可导，且在x0取得极值，则f (x0) = 0几何解释：曲线在函数取得极值的点x0处的切线是水平的。极值的充分条件(I)（一阶充分条件）设f(x)在x0的一个领域内可导且f(x0) = 0。（1）若x取x0左侧邻近的值时，f(x)的符号恒为正；当x取x0右侧邻近的值时，f(x)的符号
9、恒为负，则f(x)在x0处取得极大值;（2）若x取x0左侧邻近的值时，f(x)的符号恒为负；当x取x0右侧邻近的值时，f(x)的符号恒为正，则f(x)在x0处取得极小值。（二阶充分条件）设f(x0) = 0，f (x)在x0处具有二阶导数且f(x0)0。（1）当f(x0) 0时，f (x)在x0处取得极小值。（N 阶充分条件）设f(x0) = f(x0) = f(N-1)(x0) = 0，f (N )(x0) 0。（1）当N为偶数且f (N )(x0) 0时，f (x)在x0处取得极小值；（3）当N为奇数时，(x0，f (x0) 为拐点。Weierstrass定理：闭区间上的连续函数一定有最大
10、值和最小值。经济学应用供求理论需求向下倾斜规律观察由需求表得到的需求曲线Qd = f (p)，它是向下倾斜的；换言之，需求量与价格成反向变动。需求弹性价格的变化如何影响需求的变化？可用需求函数Qd = f (p)关于价格p的导数f(p)来衡量，f(p)称作边际需求。边际需求是否受价格和需求量的单位的影响？经济学者希望需求对价格的变化的灵敏度不受所选择单位的影响，该灵敏度可用来比较具有不同货币、不同重量和体积单位的不同国家的消费行为。解决办法是用一个经济量的变化的百分率而不是它的增量来度量该量的变化。设某个经济量q的初值是q0，后变化为q1。则用(q1-q0)/q0描述q的变化，而不用q = q
11、1-q0。前者不依赖于q的度量单位，称作q的变化的百分率，也称之为q的增长率。弹性用两个经济量变化的百分率的比值来刻划一个量量对另一个量的影响程度。这个比值称作弹性。需求的价格弹性Edp分类完全无弹性不管价格如何变动，需求量固定不变。缺乏弹性价格的任何变动，会引起需求量较小程度的变化；或1%价格的变化导致少于1%需求量的变化。单一弹性价格的任何变动，会引起需求量同等程度的变化；或需求变化的百分率与价格变化的百分率完全相同。富有弹性价格的任何变动会引起需求量较大程度的变化；或1%价格的变化导致大于1%需求量的变化。完全弹性价格的任何变动，会引起需求量无限的变动。线性需求函数的点弹性例：线性函数的
12、弹性例：幂函数的弹性需求价格弹性与消费者总支出的关系考虑完全垄断市场。当某种商品的价格p上升，消费者总支出pQd将如何变化呢？变化是不确定的。这是因为P和Qd反向变化。但有下面的结论。1) 价格的增加导致总支出的增加的充要条件是商品的需求缺乏弹性；2) 价格的增加导致总支出的减少的充要条件是商品的需求富有弹性;3) 无论价格上升或下降，总支出不变的充要条件是商品的需求是单一弹性。证明：设商品的需求函数为Q = f(p)，则总支出为E(p) =pQ。进而需求收入弹性指消费者收入的相对变动所引起的需求量的变动。供给价格弹性（类似）多变量函数微分法及其应用生产、成本、利润、效用、需求函数等往往是一组
13、经济变量之间关系的数学表达，对应着数学上的多元函数。定义从集合A到集合B的一个函数是指一个规则，它对A中任一元素指定B中唯一的元素与之对应。记作f：AB。当集A是Rn中的一个子集，集合B是R中的一个子集时，则称f是一个定义在集合A上的多元函数。经济学中的例子f：R n R（实值函数）例1 初级微观经济学：需求函数是一元函数Qd = F (P)；中高级微观经济学：某商品的需求量不仅受自己价格的影响，还要考虑受市场中其它商品的价格和收入I的影响。如商品1的的需求量Q1不仅受自己价格p1的影响，还要受市场中商品2的价格p2和收入I 的影响，数学上表示为：Q1 = f (p1，p2，I) 例如，常数弹
14、性需求函数：f：R n R m（向量值函数） 用n种投入生产的m种产品的厂商的生产函数表示为f：(I1，I2，In)(O1，O2，Om)几个特殊函数 线性函数定义3.1.2 称f：R k R m是一个线性函数或线性变换，若对任意的x，yRk，rRm有，f (x + y) = f (x) + f ( y)，f (rx) = r f (x)。线性函数f：R k R可表示为线性函数f：R kRm可表示为f (x) = Ax。其中Amk ，x = (x1，x2，xk)T二次型：多元函数的微分偏导数偏导数的求法将x1，x22，xi-1，xi1，xn看作常数，将xi看作变量，则f (x1， x2，xn)是
15、xi的一元函数，求此一元函数的导数，即得偏导数的经济解释：边际边际产量生产函数Q = F (K，L)，则保持当前不变（L = L*）时，产出Q关于资本的变化率边际效用设产品1，2，n的效用函数为U (x1， x2， xn)，则该函数在点（x1*， x2*， xn*）处关于xi的偏导数可估计在消费水平(x1*， x2*， ， xn*)的基础上再追加一个单位的产品i而增加的效用，叫产品i的边际效用，记作MUi(x1*， x2*， ， xn*)。弹性需求价格弹性设商品1的需求函数Q1 = Q1(p1，p2，I)，求商品1的需求价格弹性需求交叉价格弹性研究一种商品的需求对其它商品价格变化的灵敏度全微分定义 函数z = f (x1， x2，xn)可微的条件定理 3.2.1 (必要条件)函数f (x1， x2，
