测量误差和数据处理

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1、测量误差和数据处理（一） 测量与误差1. 测量在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的。所谓测量就是将待测 物理量与规定作为标准单位的标准物理量通过一定的比较，其倍数即为待测 物理量的测量值。测量按测量方式的不同分为直接测量和间接测量两类： 直接测量（简单测量）运用量具或仪表能直接得到物理量的数值，称为直接测量。例如，用米 尺、游标卡尺、千分尺测量长度；用秒表测时间；用电流表测电路中的电流 强度等。它的特点是：测量结果直接得到。 间接测量（复合测量）多数物理量，不便或不能直接测量。但是我们可以先对可直接测量的相 关物理量进行测量，然后依据一定的函数关系，计算出待测的物理量，这称 为间接测量。

2、例如，要测量一圆柱体的体积V,可以先用米尺（或卡尺）对 直径d和高度h进行直接测量，然后根据公式# _ 1兀d 2h计算出它的体积。4当然一个物理量应直接测量还是间接测力测量，不使绝对的。要根据所 有的仪器和测量方法来定。如上例中的圆柱体投入盛有一定量水的量筒中， 从液面的上升即可直接得到体积。2. 真值和近似真值物质是客观存在的，有各种特性。反映物质特性的物理量在一定条 件下，对应有一个确定的客观真实值。这个数值就称为真值。从测量者的主观愿望来说，总想测出物理量的真值。然而任何实际 测量中是在一定环境下，用一定的仪器、一定的方法，由一定的人员完成 的，由于周围环境不理想、测量方法不完善、仪器

3、设备不精密，而且受到 测量人员技术经验和能力等因素的限制，使任何测量都不会绝对精确。测量值与真值之间的差别，称为误差。任何测量都有误差，误差贯 穿于测量的全过程。某一物理量的误差，定义为该量的测量值x与真值卩之差，即：8 _ X |LX由于真值测不出来，误差又不可避免，所以测量的目的硬是：在给 定的条件下，求出被测量的最可信赖值，并对它的精确程度给予正确的估 计。在我们的实验中，最可信赖值取多次测量的算术平均值，它是真值得最好近似，也称近似真值。用公式表示为nii=13. 误差测量数据的精确程度我们使用误差来描述。由于前边近似真值是采 用多次测量的方法得出的，所以误差我们使用平均绝对误差。用公

4、式表示 为：左=1 工 Ax = 1 工 |x - Xn in：i=1i=1至此，测量的结果可表示为x = x Ax绝对误差反映测量精密度，但它反映不出测量的严重程度。例如，测量两个物体的长度，结果分别为l = (100.00 0.05) cm1l = (1.00 0.05) cm2 从绝对误差看，对两者的评价使相同的。但前者的误差占测量值的 0.05，后者则占 5。显然前者的相对精密度比后者高得多。因此，我 们有必要引入相对误差：即AxE = x100 %x因此，我们测量结果的完整、正确表示应为x = x AxE = x100 %x4. 误差的分类 在物理实验中，我们通常把误差分为系统误差、

5、随机误差和粗大误差3 大类。 系统误差 实验系统的组成包括：实验仪器、环境、实验的理论和方法以及实验 人员。由这四种组成所引起的有规律的误差称之为系统误差。a. 仪器误差：又以其本身的固有缺陷、较正不完善或使用不当引起的。b. 环境误差：仪器所处的外界环境如：温度、湿度、电磁场等环境的 变化引发的误差。c. 方法误差：由于计算公式的近似，没有完全满足理论公式所给定的 条件。例如，单摆测重力加速度的实验中，公式t = 2兀T采用了 sin0 的 近似条件。d. 人员误差：由测量者的个人因素造成的误差。例如：按秒标时总是 超前或滞后，读数时头总是向一边偏等。 随机误差 由某些偶然的、不确定的因素所

6、造成的误差称之为随机误差。若从一次测量来看，随机误差是随机的，没有确定的规律，也不能预测。但当测量 次数足够多时，随机误差遵从一定的统计分布。因此，增加测量的次数， 可以明显的减少随机误差。 粗大误差（过失误差）凡是明显歪曲测量结果，又无法根据测量的客观条件作出合理解释的误差，都称为粗大误差。产生粗大误差的原因是多方面。主要原因是观测 者的缺乏经验、或过于疲劳而造成的。测错、读错、计错、算错等测量过 失。此外，外界的突发性干扰使实验条件发生不能容许的偏离而未被发现 等。5. 评价测量的结果 精密度：表示测量数据的集中程度。精密度高说明测量数据集中， 随机误差小。 准确度：表示测量值与真值的符合

7、程度。准确度高说明测量结果 的近似真值与真值非常接近，系统误差小。 精确度：表示测量值与真值的一致程度。精确度高说明随机误差 和系统误差都小。测量数据集中在真值附近。数值修约规则中华人民共和国国家标准UDC 511.1/2GB 817087数值修约规则Rules for rounding off of numberical values本标准适用于科学技术与生产活动中试验测定和计算得出的各种数 值。需要修约时，除另有规定者外，应按本标准给出的规则进行。1术语1.1修约间隔系确定修约保留位数的一种方式。修约间隔的数值一经确定，修约值 即应为该数值的整数倍。例1：如指定修约间隔为0.1，修约值即应

8、在0.1的整数倍中选取，相 当于将数值修约到一位小数。例2：如指定修约间隔为100，修约值即应在100的整数倍中选取，相 当于将数值修约到“百”数位。1.2有效位数对没有小数位且以若干个零结尾的数值，从非零数字最左一位向右数 得到的位数减去无效零（即仅为定位用的零）的个数；对其他十进位数，从非 零数字最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数。例1： 35000,若有两个无效零，则为三位有效位数，应写为3 50X 1022； 若有三个无效零，则为两位有效位数，应写为35X 103。例2：3.2，0.32，0.032，0.0032均为两位有效位数；0.0320为三位 有效位数。例3：12.490为

9、五位有效位数；10.00为四位有效位数。1.3 0.5单位修约（半个单位修约）指修约间隔为指定数位的0.5单位，即修约到指定数位的0.5单位。例如，将60.28修约到个数位的0.5单位，得60.5（修约方法见本规则5.1）。1.4 0.2单位修约 指修约间隔为指定数位的0.2单位，即修约到指定数位的0.2单位。例如，将832修约到“百”数位的0.2单位，得840（修约方法见本规 则5.2）。2确定修约位数的表达方式2.1指定数位a. 指定修约间隔为10-n （n为正整数）,或指明将数值修约到n位小数;b. 指定修约间隔为1,或指明将数值修约到个数位；c. 指定修约间隔为10n，或指明将数值修约

10、到10n数位（n为正整数），或指明将数值修约到“十”，“百”，“千”数位。2.2指定将数值修约成n位有效位数。3进舍规则3.1拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。例1：将12.1498修约到一位小数，得12.1。例2：将12.1498修约成两位有效位数，得12。3.2 拟舍弃数字的最左一位数字大于5，或者是5，而其后跟有并非全 部为0 的数字时，则进一，即保留的末位数字加1。例1：将1268修约到“百”数位，得13X102 （特定时可写为1300）。例2：将1268修约成三位有效位数，得127X10（特定时可写为1270）。 例3：将10.502修约到个数位，得11

11、。注：本标准示例中，“特定时”的涵义系指修约间隔或有效位数明确 时。3.3 拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无数字或皆为0时，若所 保留的末位数字为奇数（1,3,5,7,9）则进一，为偶数（2,4,6,8,0）则舍弃。例1：修约间隔为0.1（或10-1）拟修约数值修约值1.0501.00.3500.4例2：修约间隔为1000（或103）拟修约数值修约值25002X103 （特定时可写为2000）35004X103 （特定时可写为4000）例3：将下列数字修约成两位有效位数拟修约数值-修约值0.0320.03253250032X 103 （特定时可写为32000）3.4负数修约时，先将它的绝

12、对值按上述3.13.3规定进行修约, 然后在修约值前面加上负号。例1：将下列数字修约到“十”数位拟修约数值修约值- 355-36X10 （特定时可写为-360）- 325-32X10 （特定时可写为-320）例 2：将下列数字修约成两位有效位数拟修约数值修约值- 365-36X10 （特定时可写为-360）- 0.0365- 0.0364 不许连续修约4.1 拟修约数字应在确定修约位数后一次修约获得结果，而不得多次 按第 3 章规则连续修约。例如：修约15.4546，修约间隔为1正确的做法：15.454615不正确的做法：15.454615.45515.4615.5164.2 在具体实施中，有

13、时测试与计算部门先将获得数值按指定的修约 位数多一位或几位报出，而后由其他部门判定。为避免产生连续修约的错误 应按下述步骤进行。4.2.1报出数值最右的非零数字为5时，应在数值后面加“( + )”或“( - )” 或不加符号，以分别表明已进行过舍进或未舍未进。例如：16.50( + )表示实际值大于 16.50，经修约舍弃成为 16.50； 16.50( - )表示实际值小于16.50，经修约进一成为16.50。4.2.2 如果判定报出值需要进行修约，当拟舍弃数字的最左一位数字 为5而后面无数字或皆为零时，数值后面有( + )号者进一，数值后面有( - ) 号者舍去，其他仍按第3章规则进行。例

14、如：将下列数字修约到个数位后进行判定(报出值多留一位到一位 小数)。实测值报出值修约值15.454615.5( - )1516.520316.5( + )1717.500017.518_- 15.4546-(15.5 ( - ) )- 155. 0.5单位修约与0.2单位修约必要时，可采用 0.5单位修约和 0.2单位修约。5.1 0.5单位修约将拟修约数值乘以2，按指定数位依第3章规则修约，所得数值再除以 2。例如：将下列数字修约到个数位的0.5单位（或修约间隔为0.5）拟修约数值乘22 A修约值A修约值( A )( 2 A )（修约间隔为1 ）（修约间隔为 0.5 ）60.25120.50

15、12060.060.38120.7612160.5- 60.75- 121.50- 122- 61.05.2 0.2单位修约将拟修约数值乘以5，按指定数位依第3章规则修约，所得数值再除以5。 例如：将下列数字修约到“百”数位的0.2单位（或修约间隔为20）拟修约数值 乘55 A修约值 A修约值（ A ）（ 5A ） （修约间隔为100） （修约间隔为20）830 4150 4200 840842 4210 4200 840- 930 - 4650 - 4600 - 920附加说明:本标准由中国科学院系统科学研究所提出。本标准由中国科学院系统科学研究所负责起草。本标准主要起草人吴传义。本标准委托中国科学院系统科学研究所负责解释