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1、高二数学圆锥曲线复习（二）一、基础练习：1. 已知，曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为 .2. 双曲线的渐近线为，则离心率为 . 3.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为 .4. 设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为 .5双曲线kx2y21的一条渐近线与直线2xy10垂直，则此双曲线的离心率是_6双曲线1的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，AOF的面积为，则两条渐近线的夹角为_7设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三
2、角形的三个顶点，则双曲线的离心率为_8已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|4ab，则双曲线的离心率是_9已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e2.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M、N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求实数k的取值范围二、知识梳理：1. 双曲线的定义（1）第一定义：当时, 的轨迹为双曲线; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为以为端点的两条射线（2）第二定义（了解）:（双曲线上的动点到焦点的距离与到
3、相应准线的距离相互转化）.解析：平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程性质焦点， 焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线（了解）渐近线与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：与双曲线共轭的双曲线为，有相同的渐近线，相同焦距.等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.； 3.重难点突破重点:了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研究双曲线的几何性质难点: 双曲线的几何元素与参数之间的转换重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数的
4、关系三、典例讲解1、已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程 2、已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e的最大值.3、已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程4、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（）求双曲线C的方程; （）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围5、已知双曲线C：的两个焦点为，点P是双曲线C上的一点，且（1）求双曲线的离心率；（2）过点P作
5、直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点，若，求双曲线C的方程四、随堂检测及反馈1过双曲线1左焦点F1的弦AB长为6，则ABF2(F2为右焦点)的周长是_2设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_3过点P(4,4)且与双曲线1只有一个交点的直线有_条4)已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在该双曲线上，则12_.5已知点F，A分别为双曲线C：1(a0，b0)的左焦点，右顶点，点B(0，b)满足0，则双曲线的离心率为_6已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动
6、点，则|PF|PA|的最小值为_7已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点若A4，则双曲线C的离心率为_8已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_9如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左，右焦点，且过C，D两顶点若AB4，BC3，求此双曲线的标准方程10已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：1N20；(3)求F1NF2的面积11在PAB中，已知A(，0)、B(，0)，动点P满足|PA|PB|4
7、.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设M(2,0)，N(2,0)，过点N作直线l垂直于AB，且l与直线MP交于点Q，试在x轴上确定一点T，使得PNQT；(3)在(2)的条件下，设点Q关于x轴的对称点为R，求的值一、基础练习答案：1、解析：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支的轨迹是双曲线的右支.其方程为.2、解析：当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，.3、解析： 又由、解得 直角三角形，4、解析 设，5、解析：由题意知k0，因为双曲线的渐近线yx中有一条与直线2xy10垂直所以(2)1，即k，因此双曲线中a2，c，所以离心率e.答案：6、解析：据题意令yA，故SAOFcab，故双曲线渐近线
8、的方程为：yx，因此其夹角为直角答案：90.7、解析：tan60，4b23c24(c2a2)3c2c24a24e2.答案：28、解析：因为PF1PF2，所以有，即4c24a28ab，所以b2a，c25a2，即e.9、解：(1)由已知得c2，e2，a1，b，所求的双曲线方程为x21.(2)设直线l的方程为ykxm(k0)点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组将式代入式，整理得(3k2)x22kmxm230.此方程有两个不等实根，于是3k20，且(2km)24(3k2)(m23)0. 整理得m23k20.由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足x0，y0kx0m.从而
9、线段MN的垂直平分线方程为y(x)此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为(，0)，(0，)由题设可得|4. 整理得m2，k0，将式代入式得3k20，整理得(k23)(k22|k|3)0，k0.解得0|k|3.k的取值范围是(，3)(，0)(0，)(3，)三、典例答案1、 2、【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决解析(方法1)由定义知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得即的最大值为(方法2) ，双曲线上存在一点P使，等价于 (方法3)设，由焦半径公式得，的最大值为3、 解析（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即（2）
10、设渐近线与直线交于A、B，则，解得即，又，(正确答案：c4=3)双曲线的方程为.4、解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲线的方程为.（2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. 设，则，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范围为5、（1）设，则，（2）由（1）知，故，从而双曲线的渐近线方程为，依题意，可设，由，得 由，得，解得点在双曲线上，又，上式化简得 由，得，从而得故双曲线C的方程为四、随堂检测及反馈答案1、解析：据题意|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，故(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)|AB|4a，因此(|AF
11、2|BF2|)|AB|4a61622，故三角形周长为22628.2、解析：c5，设平行于一条渐近线的直线方程为y(x5)，即4x3y200，联立直线与双曲线方程，求得yB，则S(53).答案：3、解析：过P(4,4)的直线与双曲线只有一个交点，则有两条与双曲线相切，两条与双曲线的渐近线平行答案：44、解析：b，点P(，y0)代入1中得y01.不妨设P(，1)，F1(2,0)，F2(2,0)，12(2，1)(2，1)3410.答案：05、解析：由题意可得：|FB|2|AB|2|AF|2c2b2c2(ac)2，整理得c2a2ac0，两边同除以a2得e21e0e.6、解析：设右焦点为F1，依题意知F
12、1的坐标为(4,0)，|PF|PF1|4，|PF|PA|PF1|4|PA|PF1|PA|4|AF1|44.答案：4(正确答案9)7、解析：不妨设|BF|m，|AF|4m，AFx60，则A(2mc,2m)，B(c，m)过A、B向右准线l作垂线，垂足为A1、B1，由定义e，e.即由可知，求得4m，代入式得e.答案：8、解析：如图，cb，B1F1B260，B1F1O30，在B1OF1中，tan30，1，e2，e.答案：9、解：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意，得B(2,0)，C(2,3)，解得，双曲线的标准方程为x21.10、解：(1)e，故可等轴设双曲线的方程为x2y2(2)，过点M(4，)，1610，6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，ab，c2.F1(2，0)，F2(2，0)(23，m)，(23，m)N1N2(23)(23)m23m2.N点在双曲线上，9m26，m23.0.(3)F1NF2的底|F1F2|4，高h|m|，SF1NF26.11、解：(1)|PA|PB|40，b0)由已知，得解得b.动点P的轨迹方程为1(x2)(2)由题意知，
