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1、第十讲 静电场编者按：在竞赛考试大纲中，静电学知识点数目不算多，但在个别知识点上，竞赛的要求却非常之高，这一部分应该是所有内容中最难把握和理解的，其中难度较大的内容有非匀强电场中电势的计算、静电平衡中的像电荷方法、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。静电场问题基本上分成两个大部分，那就是电场本身的问题（诸如电场和电势、静电能等）、和对场中带电体的研究（诸如静电平衡和带点粒子在电场中的运动等），高考大纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而竞赛大纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说，竞赛关注的是电场中更本质的内容，
2、关注的是纵向的深化和而非横向的综合。总之，这一部分对数学的要求不是很高，但对内容的深化理解要求却是极高的。_1库仑定律一、电荷 电荷守恒定律 一个不与外界发生电荷交换的孤立系统，其电荷总量（代数和）保持不变。其含义就是电荷可以在系统内部转移，但其总量不随时间变化，并与参考系的选取无关。 一个非孤立系统，单位时间内流出的电量等于系统内总电量的减少率，即 （1）二、库仑定律的数学表达式及其物理意义 真空中两个点电荷之间的作用力服从库仑定律，即 （2）说明：（1）两个点电荷是静止的；（2）适用于真空；（3）如果不是两个点电荷，而是电荷连续分布的带电体，则可视为无限多电荷元的集合，对每一对电荷元应用库
3、仑定律，根据叠加原理，求所有静电力的矢量和；（4）库仑力与万有引力都是有心力，且都服从平方反比率，这样在很多问题上具有相似性。【例1】在x轴上的x=处，各有一个电量均为Q的固定点电荷，在x=0处有一电量为q、质量为m的自由质点，且Q和q同号，今使q沿着x轴方向有一个微小的扰动，试证明带电质点做简谐运动，并求振动周期。提示：提示与答案合力的微扰展开为，【例2】一个半径为R的半圆环，均匀带电，电量为Q，半圆环圆心处有一个点电荷q，使求半圆环受到圆心处电荷q的作用力。提示与答案练习1一个半径为R的金属圆环，均匀带电，电量为Q，如果在环心处放置一个点电荷q，求金属圆环所受张力的增量为多大？提示与答案微
4、元法，OxFig10-2OABxFig10-1练习2如图Fig10-1所示，两个带正电的点电荷，带电量都是Q，固定放置在x轴上A、B两处，A、B距原点O都是r，若在原点O处放置另一点电荷P，其电量大小为q，质量为m。（1）当限制点电荷P只能在哪些方向运动时，它在O处才是稳定的？（2）讨论在这些方向上受扰动后，它的运动情况。提示与答案（1）在q0的条件下，当时，质点的运动是稳定的，稳定区域如图Fig10-2所示。（2）作谐振动的周期OQxFig10-3练习3如图Fig10-3所示，在Ox轴的原点O处，有一固定的电量为Q（Q0）的点电荷，在有一固定的、电量为的点电荷。今有一正检验电荷q放在x的正半
5、轴的位置上，并设斥力为正，引力为负。（1）当q的位置限制在Ox轴上变化时，求q的受力平衡位置，并讨论平衡的稳定性；（2）使定性画出检验电荷q所受的合力F与其位置x的关系图线。提示与答案（1）稳定平衡位置 （2）参见例10。2 电场 电场强度一、电场 电场强度 电荷之间的相互作用是通过电场实现的，这是人类对自然认识的一次巨大飞跃，成功解决了“超距作用”的缺陷，电场也是物质存在的一种基本形态，具有能量和动量，静质量为零。十九世纪物理学的两个最重要的发现就是场的概念和熵的概念，现代物理学已经证明，基本相互作用都是通过场实现的。为了从力的角度考察场的物理性质，引入电场强度，其定义为 （3）其中，q是为
6、检验电场而引入的检验电荷的电量。 说明：检验电荷q应充分小，以致它不会改变产生电场的源电荷分布。 特殊地，对于在真空中的一个电量为Q的场源电荷，在其周围所产生的电场强度E为 （4）二、电场的叠加原理在若干场源电荷所激发的电场中任一点的电场强度，等于每个场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和，电场叠加原理就是力叠加原理在电场中的应用。实际上，无论是经典物理学还是现代物理学（量子力学），叠加原理都是物理学中最基本的一条原理。例如，波的相干叠加就是波的干涉和衍射，量子谐振子的叠加就是量子场。从二十世纪六十年代起，由于人们对非线性科学的进一步研究，对叠加有了更为丰富的认识。练习4一根均匀带电
7、的绝缘细杆AB，C为杆上一点，D为杆外一点，如图Fig10-4所示，已知 AB= l， AC=BD=l/4，关于C、D两点的场强，下面论述正确的是（ ）ABCDFig10-4AECED，方向相同 BECED，方向相反CECED，方向相同 DEC ED，方向相反提示与答案利用对称性，答案选D【例3】在边长为a的正三角形的三个顶点分别固定两个电量为+Q和一个电量为的点电荷，求正三角形重心处的电场强度的大小。提示与答案练习5三角形ABC的三条边上带有不可移动的电荷，三边上的电荷线密度为同样大小的常量，求三角形ABC内心处的电场强度。提示与答案由对称性，电场强度为零。三、几种典型电场的电场强度1、匀强
8、电场 E=const.2、无限长均匀带电直线产生的电场 设无限长带电直导线上电荷线密度为，则距离直导线垂直距离为r处的电场强度为 （5） 方向为沿径向向外（内）。ABOMNrRl1l2lDFig10-5附：关于（5）式的证明： 要求距离无限长直导线MN为r的O点的电场强度，可以O点为圆心，以r为半径作一个半圆，直径AB平行于MN，如图Fig10-5所示。在MN上取一小段微元l，设该微元距O点距离为R，与OD夹角为，显然，设微元l的两端点与O点的连线在半圆上割出的弧元长度为，由几何关系，得 因此，微元l在O点产生的电场强度为 该表达式表示：对于微元l在O点产生的电场，相当于电荷线密度也为的微弧元
9、在O点产生的电场，由于具有一一对应关系，因此上，无限长带电直导线产生的电场与同样电荷密度的半圆产生的电场完全相同，而半圆弧的电场强度易于求得 补充说明的是，此题也可以用标准的微积分方法求出，但是，本讲义所述的方法对培养同学们熟练利用微元法和物理直觉应该是有裨益的。实际上，并非所有涉及求和问题都用微积分，有时用矢量叠加也是很方便的。3、无限大均匀带电平面产生的电场 设无限大带电平面的电荷面密度为，其电场为匀强电场，场强为 （6）请同学们思考：能否根据（5）式的证明方法来证明（6）式？4、均匀带电的球壳产生的电场 设球壳所带的总电量为Q，R是球壳半径，r是任意一点到球心的距离，则该点的电场强度为
10、（7） 5、均匀带电球的电场 设球体半径为R，电荷体密度为，r是任意一点到球心的距离，则该点的电场强度为aCOFig10-6 （8） （7）、（8）两式不应该再证明了吧。【例4】如图Fig10-6所示，在半径为R、体电荷密度为的均匀带电导体球内部，挖去一个半径为r的球形空腔，空腔球心O与大球球心C相距为a，证明空腔内的电场是匀强电场。提示与答案利用矢量叠加练习62l长的直线段均匀带电，带电量为q，设线段中点为O，求下列各处的电场强度：（1）线段中垂面上距O点r处；（2）线段的延长线上距O点r处Q1q1q2Q2q3q4Q3q5q6Fig10-7提示与答案（1）（2）【例5】三块完全相同的金属板，
11、按如图所示位置放置，金属板的长、宽限度远大于板间距离。已知金属板带电分别为Q1、Q2、Q3，在不考虑边缘效应的情况下，求各个金属板两侧的带电量。提示与答案由电荷守恒和金属导体内电场为零，联立方程组，可求得：， 。上述结论具有普遍性，与金属板的数量无关。【例6】电偶极子的电场电偶极子是指一对电量q相等、电性相反、相距为l的两个电荷系统。通常，只有在考察远离此系统中心位置r（）处的电场时，才称这对电荷系统为电偶极子。在满足的条件下，远处的电场与这对电荷的联系，仅仅以物理量电偶极矩出现。电偶极矩是一个矢量，被定义为： 其中，q是点电荷的电量，的大小为两点电荷的距离，方向由指向q，如图Fig10-8a
12、所示。设电偶极矩为的电偶极子中心为坐标原点O，求：（1）在电偶极子的中垂面上、距离坐标原点为r的P1点的电场强度；（2）在x轴正方向距离坐标原点为r的P2点的电场强度；（3）如图Fig10-8b所示，将这样一个电偶极子放置在电场强度为E的匀强外电场中，若电偶极子的方向与外电场方向的夹角为，求作用在电偶极子上的电场力绕O 点的力矩； （4）求图Fig10-8b中的电偶极子在力矩的作用下转动到外电场方向的过程中，电场力所做的功； （5）求电偶极子在外电场中处于力矩平衡时，其方向与外电场方向夹角的可能值及相应的电势能。OFig10-8aFig10-8b提示与答案（1） （2）（3）（4）（5）0或，
13、电势能或练习7一个半径为R的均匀带电圆环，电量为Q，求过环心垂直于环面轴线上什么地方电场强度最大，其最大值为多少？ 提示与答案当距离为时，电场强度最大，其值为四、静电场基本定理之一 高斯定理1、电场线：为了直观形象地描述电场中各点场强的大小和方向，在电场中画出的一系列曲线，曲线各点的切线方向表示改点的场强方向，曲线的疏密程度表示场强的大小。特点：（1）始于正电荷，终于负电荷；（2）任意两条电场线不能相交（？）。注意：电场线只能定性形象地描述电场，并不是带电粒子的运动轨迹。掌握五种电荷体系的电场线形状：正、负点电荷，两个等量同种、异种电荷、匀强电场；尤其是两个等量的同种（异种）点电荷在连线上和中垂线的电场的分布。2、电场线密度：对电场中某一考察点，过该点取一小面积元，与该点场强方向垂直，若有N条电场线穿过，则称为该点的（平均）电场线密度。由电场线的规定，显然，甚至有的教科书上干脆写成也是可以的。3、电通量SSS=ES =0 =EScosFig10-9
