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1、函数性质的综合应用知识点一函数的单调性 1.确定函数的单调性或单调区间的常用方法：2.在解答题中常用：定义法：取值作差变形定号注：为便于判断差的符号对差变形的方向是：完全平方的和或因式的积.（1）若函数 在区间（，4） 上是减函数，那么实数的取值范围是_(答：)；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_（答：）；（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是_(答：且)； 为，单调递减区间为.(5)已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）二.函数的奇偶性。1.具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原
2、点对称。如若函数，为奇函数，其中，则的值是 （答：0）；2.确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数的奇偶性_（答：奇函数）。利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性_.（答：偶函数）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。3.函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. （1）若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为_.（答：）若奇函数定义域中含有0，则必有.（2）若为奇函数，则实数_（答：1
3、）.三.函数的周期性1. 由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则. (1) 设是上的奇函数，当时，则等于_(答：)；(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_(答：)；（3）已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值(答：993)；（4）设是定义域为R的函数，且，又，则=.(答：)12. 函数的对称性。满足条件的函数的图象关于直线对称。特别地：若xR时，f(a+x)=f(ax)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；（1）已知二次函数满足条件且方程有等根，则_(答：)
4、； 形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。（2）已知函数。求 函数的图像对称点；的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。（2）作出函数及的图象；（3）若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于_对称 （答： 轴） 四指数式、对数式：1.幂指数的运算法则 ， 对数的运算法则， （1） (a0,a1,b0,nR+);(2) ( a0,a1,b0,b1);(3) ( a0,a1,N0 );(4
5、) 的符号由口诀“同正异负”记忆; 2. 指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。基本思维程序是：中间量（0再1）化为同底利用单调性（可引进中间量：以保证同底、同真或同指）作差或作商法（必要时可转化）3.指数函数 与对数函数 y= （a 0，a1）互为反函数，其单调性与a的大小有关，图像特征：4.幂函数及其性质（只要求）.（1）都过点（1，1）.（2）时，图像过点（0，0），且在第一象限中逐渐上升，时，图像不过（0，0），且在第一象限中逐渐下降. （3）时，指大图高. 时，指大图低.oyx
6、5.函数的图象和性质；定义域 值域 奇偶性 奇函数单调性 在上单调递增；在上单调递增；6. 二次函数（1）二次函数的解析式。*三种常用表达式：（定义式）；（顶点式）；（两根式）。（2）. 透彻领悟“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的内在联系。=b2-4ac0=00)的图象方程ax2+bx+c=0的根无实根不等式ax2+bx+c0的解集xx2xx1,2R不等式ax2+bx+c0的解集x1xx2*两条规律：二次函数的图象与轴的交点的横坐标即二次方程的根，且对称轴方程为；不等式（或）的解集为图象上方（或下方）的点的横坐标的集合。【注意】当时要转化、化归成时的情况求解。函数性质的综合应用例
7、题选讲例1. 设函数, 其中.记函数g(x)的最大值与最小值的差为,求的表达式并求的最小值.【答案】解: 当时, 当时,若,则, 若,则, 例2.已知函数为偶函数.()求实数的值;()记集合,判断与的关系;()当时,若函数的值域为,求的值.解: ()为偶函数 R且, ()由()可知: 当时,;当时, , 例3. 已知函数(为常数).(1)若常数且,求的定义域;(2)若在区间(2,4)上是减函数,求的取值范围.（答案）解:(1)由,当时,解得或, 当时,解得. 故当时,的定义域为或 当时,的定义域为. (2)令,因为为减函数,故要使在(2,4)上是减函数, 在(2,4)上为增且为正. 故有. 故
8、.例4.设（为实常数）。（1）当时，证明：不是奇函数；（2）设是奇函数，求与的值；（3）求（2）中函数的值域。（4）当是奇函数时，证明对任何实数、c都有成立（答案）（1），所以，不是奇函数； 4分 （2）是奇函数时，即对任意实数成立， 化简整理得，这是关于的恒等式，所以所以或 ； 8分（3）当时，因为， 所以，从而；所以函数的值域为。 （4） ； 而对任何实数成立； 所以对任何实数、c都有成立 例5.已知函数满足：对任意，都有成立，且时，。（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性并加以证明。（3）若函数在上递减，求实数的取值范围。（答案）解：（1）若则与已知条件时，相矛盾，所以设，则，
9、那么.又从而（）函数在上是增函数设，则由（）可知对任意又即函数在上是增函数。（）由（）知函数在上是增函数，函数在上也是增函数，若函数在上递减，则时，即时，时，函数1 下列函数中，既是奇函数，又在区间-1，1上单调递减的是（A）（B）（C）（D）（答案）D2函数在上为减函数，则实数的取值范围A. B. C. D. （答案）C3已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为 （） A. B. C. D.（答案）C4已知是上的减函数，那么的取值范围是( )A B C D（答案）C5 偶函数满足=，且在时，则关于 的方程，在上解的个数是 （）A.1 B.2 C.3
10、 D.4（答案）D6若奇函数满足，则=（ ） A.0 B.1 C. D. 5（答案）C7 定义在R上的函数，在上是增函数，且函数是偶函数，当，且时，有 （ ）A. B. C. D. （答案）A8函数与的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A 2 B 4 C 6 D 8（答案）B9设函数，若时，恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD（答案）A10对于函数，有如下三个命题：是偶函数；在区间上是减函数，在区间上是增函数在区间上是增函数其中正确命题的序号是（A） （B） （C） （D）（答案）A11幂函数，当时为减函数，则实数的值是_（答案）212函数为奇函数，则增区间为_。（答案）及13已知是上的偶函
11、数，的图像向右平移一个单位长度又得到一个奇函数，且；则= （答案）014已知是定义在R上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当时，则的值为_（答案）15.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是_16若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数的图像上；P、Q关于原点对称，则答点对（P，Q）是函数的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）。已知函数则此函数的“友好点对”有 对。（答案）217. 已知关于的方程的两根分别为、，且，则的取值范围是_.18已知定义域为的函数满足：对于定义域内的任意实数，都有；当时，（）求在其定义域上的解析式； （）解不等式：解：（
12、）对于定义域内的任意实数，都有，故在其定义域为内是奇函数，利用：当时，可以解得；（）当 又当不等式的解集为.19.已知函数（） （1）若的定义域和值域均是，求实数的值； （2）若对任意的，总有，求实数的取值范围（1）（）,在上是减函数，又定义域和值域均为， ， 即 ， 解得 （5分） （2）若，又，且，对任意的，总有， 即 ，解得 ， 又， 若， 显然成立， 综上。 （12分）20.已知函数.（）判断的奇偶性； （）判断的单调性,并加以证明； （）写出的值域.解：（）所以，则是奇函数. (3分)（） 在R上是增函数，(1分)证明如下：任意取，使得：则所以，则在R上是增函数. (4分)（）,则的值域为 (3分)21. 设函数是定义域为的奇函数（1）求的值；（2）若，且在上的最小值为，求的值解：（1）由题意，对任意，即， 即，因为为任意
