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1、计算物理学Computational Physics刘金远大连理工大学 物理学院2009.6第1章引论计算物理学的英译文为“Computational Physics”通常人们也把它等 同于计算机物理学(computer physics)在过去半个多世纪以来，计算物理 学渗透到物理科学和工程学的各个研究方面，成为一门新兴的交叉科学。它是 物理学、计算数学、计算机科学三者相结合的产物。计算物理学也是物理学的 一个分支，它与理论物理、实验物理有着密切的联系，但又保持着自己相对的 独立性。如果要给计算物理学做一个定义的话，我们可以采用下面这个有代表 性的概括：计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和
2、手段，运用计算数学 的方法，解决复杂物理问题的二门应用科学计算物理学已经对复杂体系的物 理规律物理性质的研究提供了重要手段;对物理学的发展起着极大的推动作 用。1.1计算物理学的起源和发展19 世纪中叶以前，可以说物理学还基本上是一门基于实验的科学。1862 年麦克斯韦(Maxwell)将电磁规律总结为麦克斯韦方程，进而在理论上预言 了电磁波的存在。这使人们看到了物理理论思维的巨大威力。从此理论物理开 始成为了一门相对独立的物理学分支。以后到了20世纪初，物理学理论经历了 两次重大的突破，相继诞生了量子力学和相对论。理论物理开始成为一门成熟 的学科。传统意义上的物理学便具有了理论物理和实验物理
3、两大支柱，物理学 便成为实验物理和理论物理密切结合的学科。正是物理学这样的“理论与实践 相结合”的探索方式，大大促进了该学科的发展，并引发了20世纪科学技术的 重大革命。这个革命对人类的社会生活产生了重大影响。其中一个重要的方面 就是电子计算机的发明和应用。物理学研究与计算机和计算机技术紧密结合起始于20世纪40年代。当时 正值第二次世界大战时期，美国在研制核武器的工作中，要求准确地计算出与 热核爆炸有关的一切数据，迫切需要解决在瞬时间内发生的复杂的物理过程的 数值计算问题。然而，采用传统的解析方法求解或手工数值计算是根本办不到 的。这样，计算机在物理学研究中的应用就成为不可避免的事了，计算物
4、理学 因此得以产生。第二次世界大战之后，计算机技术的迅速发展又为计算物理学 的发展打下了坚实的基础，大大增强了人们从事科学研究的能力，促进了各个 学科之间的交叉渗透，使计算物理学得以蓬勃的发展。理论物理是从一系列的基本物理原理出发，列出数学方程，再用传统的数 学分析方法求出解析解。通过这些解析解所得到的结论与实验观测结果进行对 比分析，从而解释已知的实验现象并预测未来的发展。实验物理是以实验和观 测为基本手段来揭示新的物理现象，奠定理论物理对物理现象作进一步研究的 基础，从而为发现新的理论提供依据，或者检验理论物理推论的正确性及应用 范围。计算物理则是计算机科学、数学和物理学三者间新兴的交叉学
5、科，是物 理计算科学的基础，是研究物理学中与数学求解相关的基本计算问题的学科。 它研究的主要内容是如何应用高速计算机作为工具，去解决物理学研究中极其 复杂的计算问题。计算物理学对解决复杂物理问题的巨大能力，使它成为物理 学的第三支柱，并在物理学研究中占有重要的位置。计算物理学与理论物理和实验物理有着密切的联系。计算物理学的研究内 容涉及物理学的各个领域。一方面，计算物理学所依据的理论原理和数学方程 是由理论物理提供的，其结论还需要理论物理来分析检验；另一方面，计算物 理学所依赖的数据是由实验物理提供的，其结果还要由实验来检验。对实验物 理而言，计算物理学可以帮助解决实验数据的分析、控制实验设备
6、、自动化数 据获取以及模拟实验过程等问题；对理论物理而言，计算物理学可以为理论物 理研究提供计算数据，为理论计算提供进行复杂的数值和解析运算的方法和手 段。总之，计算物理学是与理论物理、实验物理互相联系、互相依赖、相辅相 成的。它为理论物理研究开辟了一个新的途径，也对实验物理研究的发展起了 巨大的推动作用1.2 误差分析1.2.1 基本定义：1. 误差之差，即：1-1)式中：E表示误差；z *表示准确，又称精确值、真值； Z 表示近似值。2.误差限若存在一个小正数使不等式Z- Z* Z + ，EI 3.相对误差相对误差定义为:E 二 E（1-3）r Z *|Z - Z * 成立，则称为近似值Z
7、的绝对误差限，简称误差限。由此可得到下面几个结果通常准确值Z *是无法求得的，而用其近似值代替：E二E / Z。(试证这种近似的r1-2）误差与(E / Z *)2值同一数量级)4.有效数字如果近似值Z的误差限不超过某一位上的半个单位,该位到Z的第-个非零 数字共有 n位，我们说，z有n位有效数字。或者z准确到该位。例如：兀取314做为近似值有3位有效数字(误差为0.00159 . 0.0005 )；取3142做为近似值有4位有效数字(误差为-0.00041.0.0005 )122 误差来源1. 模型误差(Modeling Error ): 对实际物理问题做了某些近似假设后抽象出数学模型带来的
8、误差。2. 观测误差(Measurement Error): 实验测量得到测量值带来的误差。3. 截断误差(Truncation Error): 近似求解的方法误差。例如，在计算机计算函数值时，通常按泰勒展开式进行计算。实际计算时，只能取有限项计算，后面各项被截去了，产生截断误差。【例题“】已知函数y = ex，且|x| 1，若要求截断误差的误差限为0.005，那 么需要计算到多少项才能满足要求？Xn+1(n +1)!解由丁 |X 1 ，ex u 1 + x + R (x) , R (x)=2!n!nn由丁 |x| 1 , (0 9 1)，可以估计：e9c e 3，则得：|r (x) 3eOx
9、, (0 9 5 , 由此取n二5，当 0.005，解不 (n +1)!x二1时，计算得 e u 2.716667 , 较准确的近似值为e 二 2.71828 , 误差为： E 二 2.71828 - 2.716667 二 0.0016148 0.005 , 有3位有效数字。4.舍入误差(Roundoff Error )计算时由丁机器字长有限，对其小数指定位进行四舍五入而引起的误差。 一般而言，一次舍入不会产生很大误差，但随着多次舍入运算，误差会积累 放大。例如：,E 二 Z* - Z 二工九Z =工九z , Z * =工九z *k kk kkk设每次舍入计算时舍入误差为则e十z * z k
10、kEkx(z* -z ) 工叫|ke，由此有Eix iskkk k k k* - zk kE 二 Z* - Z 乙內 |其中工和是舍入误差的放大系数。一个实际计算的物理问题往往会涉及多种近似。例如，计算地球的表面积 采用的公式：S = 4“ r2，其中涉及模型误差：近似认为地球是球形的；测量误差： 近似认为地球半径 r u 6370km ；舍入误差：近似取“ 的近似值。计算物理中关心的是截断误差和舍入误差。1.3 数值计算应注意的问题1.3.1 避免相近二数相减 两个相近数的前几位有效数字是相同的，相减后有效数字位会大大减少。例如： jTUUT u 31.64，JTU00 u 31.62，求Q
11、TUUT - JTU00) 的值。可以看到，直接 相减结果为0.02，只有1位有效数字。计算中损失了 3位有效数字。为了避免 两个相近的近似值相减，可改变计算方式，如因式分解，分母有理化，三角公 式变换，泰勒展开等。G1001 1000)=G 1001 - W0)c 1001 + 4000) 51 +1 _ 1 (、而1 + 而0厂 31.64 + 31.62u 0.01581另外还有其他一些方法，例如SI olhss:opow |舉 31X00000+01X3X0：啤錠决 Y0IX90S寸O+OIX3XO- 碾盘島星* gssssCNmw- i Z i z i i z3(3JT + ( 73
12、(3JH(3丄3JKZ I Z I(K)J ( X 二肚 991(K)J 坪(K)J 训【(时)日乂日K日：s ksisk沏lffSHmKfsisM= fine 管op puaTey+ u I sGIHz opuu I g:owvr管*44sm_K=rn e Z I 0 = 舟+ ZF b + F b+ digg薈專：悬龙1.4 计算机编程语言1.4.1 FORTRAN 语言Fortran 语言是世界上广泛流行的、最适于数值计算的一种计算机语言， 是世界上最早出现的高级程序设计语言。从1954年第一个Fortran语言版本 问世至今，已有50多年的历史，但它并不因为古老而显得过时，随着时间的推
13、 移它也在不断发展，现已出现Fortran 95语言版本。另一方面，这么多年来， 在各个领域，特别是在科学工程计算领域，积累了大量成熟可靠的Fortran语 言代码。因此在未来相当长的一段时间里，使用Fortran语盲进行复杂科学工 程计算与分析的程序设计和软件开发，仍然有着其独特的优势。现在许多过程 模拟计算、有限元分析、分子模拟等大型软件程序，都以 FORTRAN 语言编 写的程序作为软件的核心程序。现在常用的 FORTRAN 语言的编译版本是 Fortran Powerstation 4.0或已Compaq Visual Fortran 65它们与各FORTRAN语盲版本的兼容性好，有
14、IMSL 数学和统计库可供直接调用，为开发和处理大型复杂计算提供了 便利的手段。142 MATLAB 软件MATLAB 语言是当今国际上科学界 最具影响力、也是最有活力的软件。 它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大 的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的 与其他程序和语言接口的功能。MATLAB语言在各国高校与研究单位起着重大 的作用。MATLAB语盲由美国The MathWorks开发，2003年推出了其全新的 MATLAB 651 正式版。前最新版本 Release 14 (MATLAB 70)的 Service Pack 1，2004 年 9 月正式推出。143 C,C+ 语言 *证明：
