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1、精 华 名 师 辅 导教学内容：平行线等分线段定理【基础知识精讲】本节内容是平行线等分线段定理及其两个推论，两个推论实际上是定理的特例，也是重要的定理.1.平行线等分线段定理.一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.定理的证明：借助梯形常见的辅助线，把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形，三角形的相关知识进行证明(见教材P180页的证明过程).定理的变式图形：(图4.10-1)2.平行线等分线段两个定理推论推论1 经过梯形一腰中点的直线必平分另一腰推论2 经过三角形一边中点且与另一边平行的直线平分第三边3.定理及推论的应用任意等分线段通过中点的证明，从而转换
2、为梯形或三角形的中位线进行解题，同时作为三角形、梯形中位线定理证明的根据.【重点难点解析】重点：平行线等分线段定理及推论难点：平行线等分线段定理的证明及变式图形的理解例1 已知线段AB，求作AB的五等分点.分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连结最后一等分的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等分了.作法：(1)如图4.10-2作射线AM； (2)在射线AM上截取AA1A1A2A2A2A3A4A4A5(3)连结A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、
3、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、F，那么C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.例2 如图4.10-3，ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OEAB交BC于E，AD12，求BE的长.分析：本题重在考查应用平行线等分线段定理推论解题的能力.解：ABCD是平行四边形，OAOC，BCADABDC，OEABDCOEAB又AD12BEECBCAD6例3 求证：直角梯形斜腰中点到直角腰两端点的距离相等.已知：如图4.10-4，梯形ABCD中，ADBC，ABBC，DEEC.求证EAEB分析 要证EAEB，实际上只要证E在AB的垂直平分线上.故过E作EMBC.由ABC90，得AME90.再由平
4、行线等分线段定理的推论可知AMMB.这样点E在AB的垂直平分线上.问题得证.证明：作EMBC，交AB于M.ABBC，AMEABC90在梯形ABCD中DEEC，EMBC，AMMBE在AB的垂直平分线上EAEB【难题巧解点拨】例1 如图4.10-6，已知ABC，求作BC上两点D、E，使SADBSADESAEC分析 根据等底同高的几个三角形面积相等只需在BC上取三等分点D、E，将等积问题转换为等分线段问题.作法：(1)作射线BN(2)在BN上以任意长顺次截取BFGH(3)连结CH(4)过G、F点分别作CH的平行线GE、FD，分别交BC于E、D则：D、E为BC的两个三等分点(5)连AD、AE，得ABD
5、、ADE、AEC证明：略注意点：线段的等分点只能运用等分线段定理采用尺规作图，不能用刻度尺来等分线段.例2 如果把矩形ABCD线对折，设折痕为GH，再把点A叠在折痕线，折痕为BE，得RtABE，交折痕GH于P，延长EA交BC于F，则BEF为等边三角形(图4.10-7)证明：G、H为矩形ABCD的边AB、CD的中点四边形AGHD、GBCH为矩形 ADGHBCP、A分别为BE、EF的中点RtABERtABEAEAB90 AEBBEFPAPEBF BA为EF的垂直平分线BEFPAE BEBFGHAD PAEDEFAEBBEFDEFAEB+BEF+DEF180BEF60 BEBFBEF为正三角形【命题
6、趋势分析】本节中考热点为平行线等分线段定理的运用.【典型热点考题】例1 如图4.10-5，ABC中，AD是BC边上的中线，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，求证AFCF.分析 本题查考平行线等分线段及推论的应用能力.过D点作DGBF交AC于G是常规辅助线、通过它可将要求的问题转换成平行线等分线段定理及推论的运用.证明：过D作DGBF交AC于GEFDG，AEDEAFFG又BFDG BDDCFGGCAFFGGC即：AFCF【同步达纲练习】一、填空题1.在ABC中，ABAC，ADBC于D，若DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，则四边形AEDF是.2.在梯形ABCD中，ADBC，E为DC中点
7、，EFAD交AB于F，则SAEFSBEF .3.如果一组平行线，在一条线段上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也 .4.在ABC中，CRt，D为AB的中点，DEAC交AC于E，则CE AE.5.已知三条直线ABCDEF，它们之间的距离分别为2cm，作一直线MN分别与三条平行线交于30，且与AB、CD、EF分别交于M、N、P，则MN cm，NP cm.6.如图4.10-8所示，F为AB的中点，FGBC，EGCD，则AG ，AE .7.如图4.10-9，直线l过梯形ABCD一腰AB的中点E，且平行于BC，l与BD，AC、CD分别交于F、G、H，那么，BF ，CG ，DH . 图4.10-8
8、 图4.10-98.直角梯形ABCD中，ADBC，A90，EF是AB的垂直平分线，EF交AB于E，交CD于F，则DF .二、选择题1.如图4.10-10，在ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OEAB交BC于E，则SBOESABCD等于( )A.14B.18C.116D.1122.在ABC中，ABAC，ADBC于D，DEAB交AC于E，则DE等于( )A.BDB.DCC.ACD. AD3.在ABCD中，AD12，两对角线相交于O，E是OC中点，EFAB交BC于F，则CF的长为( )A.3B.4C.5D.64.如图4.10-11，ABCDEF，AOODDF，OE6，则BE( )A.9B.10C
9、.11D.125.AD是ABC的高，DCBD，M、N在AB上，且AMMNNB，MEBC于E，NFBC于F，则FC( )A. BCB. BDC. BCD. BD6.在梯形ABCD中，ABDC，DCAB12，E是AD的中点，EFAB交BC于F，则EFAB( )A. B. C.D.17.以线段a=16,b=13,c=6为边作梯形，其中a，c为梯形两底，这样的梯形( )A.有一个B.有二个C.有三个D.不存在三、解答题1.将已知线段AB分成123三部分(写出作法).2.如图4.10-12，直线x，y互相垂直，垂足是O，作出线段AB关于直线x的对称图形A1B1，关于直线y的对称图形A2B2，证明A1B1
10、和A2B2关于O点成中心对称.3.如图4.10-13，已知：在梯形ABCD中，ADBC，两腰AB、DC分别与两对角线AC、BD垂直，M、N分别是梯形两底AD、BC的中点，求证：MNBC. 4.如图4.10-14，AD是ABC的平分线，E为BC的中点，EFAB交AD于F，CF的延长线交AB于G.求证：AGAC5.如图4.10-15，M、N分别为ABCD中AB、CD的中点，求证：BEEFFD. 【素质优化训练】如图4.10-16，直线l交线段AB于P，ACl，BDl，垂足分别为C、D，M是AB的中点，求证：MCMD.【生活实际运用】如图4.10-17，先把矩形ABCD对折，折痕为MN，恢复原状后，
11、再把点B折叠到折痕MN上(如图)设EB的延长线交AD于F.试判断AEF的形状，并说明理由.【知识探究学习】如图4.10-18，梯形ABCD中，ABCD，BCAB，A60，ABAD，M是AB的中点，则MBC是等边三角形吗?为什么?参考答案一、1.菱形 2.11 3.相等 4. 5.4 4 6.CG DE 7.DF AG HC 8.CF二、1.B 2.C 3.A 4.A 5.A 6.C 7.D三、1.略 2.略 3.提示：连结AN、DN，根据直角三角形性质得ANDN，由等腰三角形三线合一定理得MNAD 4.E为BC中点，F为CG中点，AGAC 5.证ANCM，DFFE，FEEB【素质优化训练】 提示：过M作MNl，垂足为N.【生活实际运用】 13，又PNND，23，而AEBABE，1230，AEB60，又12，ABEF，AEAF.【知识探究学习】 提示：过M作MNAB交BC于N.
