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1、第十三节 对数函数基本不等式第一课时：对数函数 知识点一对数函数的概念思考已知函数y2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？答案由于y2x是单调函数，所以对于任意y(0，)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是xlog2y，此处y(0，).梳理一般地，我们把函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).知识点二对数函数的图象与性质思考ylogax化为指数式是xay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？答案当a1时，若0x1x2，则，解指数不等式，得y1y2从而ylogax在(0，)上为增函数.当0a1时，同理可得yloga
2、x在(0，)上为减函数.梳理类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质：定义ylogax (a0，且a1)底数a10a1图象定义域(0，)值域R单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数共点性图象过点(1,0)，即loga10函数值特点x(0,1)时，y(，0)；x1，)时，y0，)x(0,1)时，y(0，)；x1，)时，y(，0对称性函数ylogax与y的图象关于x轴对称类型一对数函数的概念例1已知对数函数yf(x)过点(4,2)，求f及f(2lg2).解设ylogax(a0，且a1)，则2loga4，故a2，即ylog2x，因此flog21，f(2lg 2)log22
3、lg 2lg 2.反思与感悟判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如ylogax(a0，且a1)的形式，即必须满足以下条件：系数为1.底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x.跟踪训练1判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.(1)ylogax2(a0，且a1)；(2)ylog2x1；(3)ylogxa(x0，且x1)；(4)ylog5x.解(1)中真数不是自变量x，不是对数函数；(2)中对数式后减1，不是对数函数；(3)中底数是自变量x，而非常数a，不是对数函数.(4)为对数函数.类型二对数函数的定义域的应用例2求下列函数的定义域：(1)yloga(3x)
4、loga(3x)；(2)ylog2(164x).解(1)由得3x3，函数的定义域是x|3x0，得4x1642，由指数函数的单调性得x2，函数ylog2(164x)的定义域为x|x3.函数yloga(x3)loga(x3)的定义域为x|x3.2.求函数yloga(x3)(x3)的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？解(x3)(x3)0，即或解得x3.函数yloga(x3)(x3)的定义域为x|x3.相比引申探究1，函数yloga(x3)(x3)的定义域多了(，3)这个区间，原因是对于yloga(x3)(x3)，要使对数有意义，只需(x3)与(x3)同号，而对于yloga(x3)loga(x3
5、)，要使对数有意义，必须(x3)与(x3)同时大于0.反思与感悟求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变.跟踪训练2求下列函数的定义域.(1)y；(2)ylog(x1)(164x)；(3)ylog(3x1)(2x3).解(1)要使函数有意义，需即即3x2或x2，故所求函数的定义域为(3，2)2，).(2)要使函数有意义，需即所以1x2，且x0，故所求函数的定义域为x|1x且x，故所求函数的定义域为.类型三对数函数单调性的应用命题角度1比较同底对数值的大小例3比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；
6、(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a0，且a1).解(1)考察对数函数ylog2x，因为它的底数21，所以它在(0，)上是增函数，又3.48.5，于是log23.4log28.5.(2)考察对数函数ylog0.3x，因为它的底数00.3log0.32.7.(3)当a1时，ylogax在(0，)上是增函数，又5.15.9，于是loga5.1loga5.9；当0aloga5.9.综上，当a1时，loga5.1loga5.9，当0a1时，loga5.1loga5.9.反思与感悟比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比
7、较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.对于不同底的对数，可以估算范围，如log22log23log24，即1log230，3x11.ylog2x在(0，)上单调递增，log2(3x1)log210.即f(x)的值域为(0，).反思与感悟在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系.故求ylogaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数ylogax的单调性求出logaf(x)的取值范围.跟踪训练4函数y的值域为()A.(0,3) B.0,3C.(，3 D.0，)答案D解析x1时，03x0，a1)的图象过
8、一个定点，则这个定点的坐标是_.答案(2,4)解析因为函数yloga(x1)的图象过定点(2,0)，所以函数f(x)4loga(x1)的图象过定点(2,4).反思与感悟yf(x)yf(xa)，yf(x)yf(x)b.对具体函数(如对数函数)仍然适用.跟踪训练6已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a1，c1B.a1,0c1C.0a1D.0a1,0c1答案D解析由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0a1,0c1的对数函数，在(1，)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0a1的对数函数，在(1，)区间内，底数越小越靠近x轴.知识点四
9、反函数的概念思考如果把y2x视为ARB(0，)的一个映射，那么ylog2x是从哪个集合到哪个集合的映射？答案如图，ylog2x是从B(0，)到AR的一个映射，相当于A中元素通过f：x2x对应B中的元素2x，ylog2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.梳理一般地，像yax与ylogax(a0，且a1)这样的两个函数互为反函数.(1)yax的定义域R，就是ylogax的值域，而yax的值域(0，)就是ylogax的定义域.(2)互为反函数的两个函数yax(a0，且a1)与ylogax(a0，且a1)的图象关于直线yx对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.类型一对数型复合函数的单调性命题角度1求单调区间例1求函数y(x22x1)的值域和单调区间.解设tx22x1，则t
