数列的求和

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1、数列的求和、数列常用基本公式及结论：1、数列的通项与数列的前n项和的关系：a= S= S1 Snn 1(n 二 1)(n 2)。2、等差数列通项公式：an=a + (n 1)d = a + (n m)d ； m + n = p + q n a + a = a + a .1m3、等比数列通项公式： an=a qn1 = a qnm ； m + n = p + q n a - a1mm=a - a .pq注意：(1)累加法：a = (anna )+(aan 1n 1n 2)+ + (a 一 a ) + a ；2 1 14、5、6、a累乘法：a = 叶nan1等差数列的前n项和公式:aan12 aa

2、a 1n21n(a +a )S =+ n =n2这是两种求常用的求数列通项公式的方法。na1V a aq1n、1-q若数列a 成等差数列，则S , S - S,nk2 kk若数列a 成等比数列，则S , S 一 S ,nk2 kkn(n 1)dd dna += n2 + (a 一一)n1 2 2 1 2(q=1)等比数列的前n项和公式:a (1 qn)=t(q 丰 1)1qS S 3k2 kS S 3k2 k成等差数列. 成等比数列.7、常用数列的前n项和：1 + 2 + 3 + n=n(n +1) ； 1 + 3 + 5 + + (2n一 1) = n2； 22 + 4 + 6 + + 2n

3、 = n(n +1) ； 12 + 22 + 32 + + n 2 = n(n + 1)(2n +1)6=丄(丄-丄) n(n + k ) k n n + k111常用裂项形式有：詁1) n n + V1=Jn +1 m ；1= Qn +1 -n)n +1 + .nn + k + .n k二、特殊数列求和：8、解：取n =1,则a1 =()2 二 a = 1又: S1/ a-1 (n e N*)n三、分组求和法：11例2、求数列近，2才=2n 1. S = 1 + 3 + 5 +(2n 1) = n2n吐的前n项和Sn；a +1例1、设等差数列a 的前n项和为S,且S =(十一)2(n e N

4、 *)，求数列a 的前n项和Snn n 2nnn(a + a )n(a + a ) a +1=1 可得： 匕一=一 )2n 2 2 2所以1解：因为a = n + ， n 2 n1 11 1 1 1 1 1s = (1+石)+ (2 + 万)+ (3 + ) + + (n +) = (1+ 2 + 3 + + n) + (兀 + + + )n 2482 n2 4 82 n1 (1 1 )n(n +1) , 22n + _21例 3、数列1 + 】，+ 4, + 7, +10 ,an2 + n 1+12na2a3解：设数列的通项为a ,n前n项和为S,n1,+ (3n 2),的前n项和S an1

5、1a + (3n 2)na n 1S 二(1 + - +a11+a 2an-i)+ 1 + 4 + 7 + + (3n 2)当a二1时,(1 + 3n 2)n3n2 + n=n +=当a丰1时,1_丄an+ (1 + 3n - 2)n = an -1 + (3n - 1)n12 a n a n 121 a四、裂项相消法：66例4、列6n(n +1)6 6(1 1 ) 6( -)n(n +1)n n +11 1 1 1 11 x 22 x 33 x 4前 n 项和 Sn解：设数列的通项为S则bn.S = b + b +b = 6(1) + 匕)+(_ )n 12n22 3n n +1例5、求数列

6、的前n项和S .n+1+、nn解：因为 a =；n +1 Jn，所以 S =( 2 -1)+(J2)+(J4 )+(、/ +1 Jn)= Jn +1 -1.n例6、求数列：11，1+2 1 + 2 + 311 + 2 +n前 n 项和 Sn1 + 2 +n n( n +1)2 1 1二 2(-) n n +1二 丁2（1 -扣（2扣 G4）+G占=21五、错位相减法：1 )2nn +1 n +1例7、求数列1x 2,2 x22,3 x2s,n x2n, 的前*项和S。解：S =1 X 2+2 X 22+3 X 23+4 X 24+ n X 2n-i +n X 2n n 2S=n1 X 22+2

7、 X 2卄3 X 2厶+(n1) X 2n +nX 2n+i(1-2)S =2 + 22+23+2n n X 2n+1= n2n+1n 1 2S = (n 1) 2+i +2n例8、求数列n x云前n项和Sn解：S 1 x1 + 2 x1 + 3 x 1 +n1+ n x -2n1 x1 + 2 x1 + 3 x 丄 + + (n -1) x 1 4816+ n x 2n2 n+1两式相减：1+ 一 n x2n2d - I)一2n+12 n +1六、课后作业：r 11r 1 1r 1 1x + +x 2 +xn +iy 丿iy 2 丿iy n 丿1、求和：(x 丰 0, x 丰 1, y 丰

8、1)2 n-12 n解：原式= (x + x2 + x3 + xn )+y2yn丿x( - xn )1+1 - x1-丄1yn丿yx- xn+1+1 - xyn 一1y n+1 y n1 n1 n.S 2(1 -) 2 -n2 n2 n+11 1 1分析：由a =-nn2、求和：1X1+2X3+nUi)解：原式=卜11i 2丿12_3 丿=1 -n +1 n +13、求和： 1+3a +5a2 +7a3 +(2n -1)an-1(a 丰 0).解：1、当 a=1 时，S 1 + 3 + 5 + +(2n-1) + 2n-1)n n2n22、当 a丰 1 时，S 1 + 3a + 5a2 + (2n 1L-1 (1)1naS a + 3a 2 + 5a 3 + + (2 n - 3)a n-1 + (2n - 1)a n (2 )n.(1 - a)Sn1 + 2a + 2a2 + 2a n-1 - (2n - Ln-1 + 2 - an-1 )-(2n - 1)an1 - a- a )Sn2(1 an ) 1 (2n 1LG - a1 - a1C +1)- nn +1(n +1)n(n +1)n(n +1) n(n +1) n