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1、轮换对称式的最值问题学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式 证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优 美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见 到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。知识梳理1. 不等式对称和轮换对称式的定义在一个不等式中，若把其中任何两个字母a ,a C, j 1,2,., “且,丰j）对调位置后，这ija b c 3个不等式不变（
2、如亠 + + 匚 -，其中a, b, c 0）,我们便称此不等式是b + c c + a a + b 2关于a ,a，,a对称的。如果把不等式中的字母a ,a，,a按一定顺序依次轮换（如a1 2 n1 2 n1换成a，a换成a，.，a换成a ）后不等式不变（如2 23n-1nc 2 - a 2 a 2 - b 2 b 2 - c 2- + 一- 0,其中a,b,c 0），我们便称此类不等式是关于b+c c+a a+ba ,a ,.,a 轮换对称的。12n2. 对称式与轮换对称不等式的性质由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如），而轮换对称的不等式却不一定 是对称的（如就不是对称的）。关于
3、a ,a，,a对称的不等式，由于a ,a互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他12ni j们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列a ,a ,., a的大小顺序（如在12n中可设a b c），而关于a ,a ,., a是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大12n小顺序，而只能做较弱的排列，如a a , a a ，a a，即某一个是其1 n2nn-1n中的最大或最小（如中可设a c , a b ）,因为我们总可以通过轮换把某个字母调 整到最小或最大的位置。3. 取得最值的判定 暑期讲义轮换对称式一讲中我们提到，轮换对称式取到最值时往往各地位轮换对称的变 量取值相等。在这种情况下我们可
4、以简化问题为先判断最值和取到最值的条件，在转化 为不等式证明问题（此时取等的条件也作为一个解决不等式证明的重要提示）。当然，并不是所有轮换对称式取最值的条件都是上述，所以我们尽可能用特值等方法验 证来舍弃显然不合理的假定，确认判断正确后再转化为证明问题，这样可以减少无用功。 值得注意的是，判断各变量相等时取到的是最大还是最小值与题目要求比对是十分必要 的。4. 轮换对称式常见的处理方法（结合例题讲解）（1）凑项法（最常用） 在判断出最值后，利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的 技巧，完全可以程式化证明一类不等式。主要细分为凑项降幂法、凑项升幂法 凑项去分母法、凑项平衡系数法。基
5、本思路：判断该题为轮换对称式；通过条件得出取最值时各字母或参数的值判断是最大或最小值，抓住其中一项深入研究，构造均值不等式的其他项，再 运用均值不等式加以证明。上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时 能利用已知条件，并能取到等号。（2）求配偶式法（即（1）的进化版本） 当直接配凑较为困难时我们可以通过先设待定系数求解的方法找到要凑得项。 充分利用轮换对称式等式的结构特点以及等号成立的条件为导向，运用待定系 数法构造配偶式，然后运用均值不等式等号成立的条件以及所证轮换对称不等 式等号成立的条件求出待定系数，从而使所证不等式获得证明。其中设配偶式 求配偶因子是该方法的
6、关键一步和核心部分，也是它与方法（1）的主要区别。（3）“非常规最值”的应对方法 前几个方法中,首要是确认在各变量取值相等时取到最值，这类最值问题称为 “常规最值”。然而并非所有的轮换对称式都满足这一要求，因而面对一些“非 常规最值”问题，也有一些特定的其他方法，如：构造不等式法、导数法（没 有例题，导数法结合主元思想是证明不等式、求最值很常规的一类方法，本节 不再做说明）和图像法等。例题精讲【试题来源】【题目】已知X,y,z e R +，且x + y + z = 1,求詁4x +1 + f4y +1 + J4z +1的最大值【答案】J可【解析】斤猜想当X = y = z = 3时取得最大值，
7、止匕时 詔x +1二J4y +1二、4z +1二耳3，最大值下证明因为2 77一4x +1 - + 4x +133所以韶E *3（2x + 3）同理 J35 354y +1气-（2y + 3），韶z +1 a，所以工a；2 + n ( )2 工a，ni=1 z nn i=1 za2 + a2 + + a212n知识点】轮换对称式 凑项降幂法 适用场合】当堂练习题 难度系数】2试题来源】1990年第 24届全苏数学奥林匹克 题目】设 Xi,Xn 是正数，且 Xi + X 2 + + Xn 二X2求U1答案】解析】-+X + X2 2 312x22 + +X 2X 2x + x + X7T的最小值
8、 n-1nn1分析：由于当 x1 = xxi2i=-时等号成立，于是一先一=丄(X: + X:+)。nxi + xi+1 4下证：设 Xn+-x2i=叫，因为1Xi + Xi+1n所以Ei =1x2iX. + xi i +11 n nn+ (工x. + 工 x.) 工 x.，4 i =1i =1i =12即 1xi一i=1xi + xi+1知识点】轮换对称式 凑项去分母法 适用场合】当堂例题 难度系数】3【试题来源】【题目】1 1 1 3 设 a,b,c e R+，且 abc = 1，求证：03R + b3L + 而莎 2【答案】(证明题)【解析】b2c2c2a2a2b2 3原不等式等价干+
9、原不等式等价于a(b + c) b(c + a) c(a + b)2b2c21b2c21当a=b=c=1时等号成立，此时亦而=4a(b + C)，所以，Ojb+c) + 4a(b + C) 力,c2a21a2b21同理，bc帀+4b(c+a) ca，乔初+4c(a+b) ab，上述三式相加并化简得b 2c 2c 2 a 2 a 2b 2133+n (ab + be + ca) 3 ab - be - ca =a(b + c)b(c + a)c(a + b)222【知识点】轮换对称式 凑项去分母法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3试题来源】题目】设a,b,c e R +,【答案】1【解析】3，
10、求11 + 2ab+1 + 2bc1+1 + 2ca的最小值。猜测a = i=c = 1时，最小值为1。+九1 + 2处) 2爲下证：令0，由均值不等式得，此不等式等号成立条件是=(1+2)川二辽即。又易知所证不等式等号成立的条件是ahc5+-(1+2) -于是有，同理有l2bc此时55 +，将这三个不等式相加得，1+ 2ab +1 2bc +1+- 3 9 2bcJr2c又由均值不等式可得，自，2(/+沪+/)22“色+2呢+ 2阳，代入上式显然得证。 知识点】轮换对称式 求配偶式法适用场合】当堂例题难度系数】2【试题来源】【题目】若x ,x x为小于1的正数且x + x +. + x =
11、1，m, n e N* 且 m 2, n 2， 则12 n12nnm+.+n X Xm x x mx x mm-1 11122n n答案】（证明题）解析】证明：因吗匕（6D0 1?2”.则吗吗 （0J）令/I 0由均值不等式得亠睑厂护沁麻-A,此不等式等号成立的条件是禹西吗=（1 = 12卫） 又易知所证不等式等号成立的条件是此时于是有_n2 CA!-禹） _ 1 n，其中，将这总个不等式相加得,M-1MM-l 1 + /-年 龙 1 （花因为.+ x = 1,所以12n代入上述不等式化简得：S丄I（均值不等式），即知识点】轮换对称式 求配偶式法 适用场合】当堂练习题 难度系数】3【试题来源】
12、【题目】非负实数a,b,c满足a + b + c二1，记S =+，求S的取值范围。1 + a 1 + b 1 + c95【答案】4 S -j.式右边为非常规最宣可对每一项构 造一个滋当的不竽式然后相加-钩造宀等武十咚1亡占一门或I时取等号人 注意到亡冃汽 ： I H 4J0/1 -小.丸由（&知一上式成立一同理，- f当 “0或】时取等号- 刍 心0或1时取等号丿,1 +r 2以上三式相加得业恥中硏个为僅一个为I时，上克等号成玄注：基本思路和前面两种方法雷同，也是知道取到最值时变量的取值条件之后特意构造两端 取等的不等式来帮助证明。【知识点】非常规最值-构造不等式法【适用场合】当堂例题【难度系
13、数】3【试题来源】2007 女子数学奥林匹克（改编）【题目】非负实数a, b, c满足a + b + c = 1,a + (b - c441求S的最大值。【答案】2【解析】发现当a = b = c = 3,S = 3不是最大值。构造不等式J? +寸fb-亡尸 自f + ： f F - 2加十用) 冬圧+竝汗+八警曲 + & f 1 - &-曲 + ht - 0f沏，只最后一弍显然成亡故式成立.工刍 尿一().即处中至少有一个为D时等号咸立一【知识点】非常规最值-构造不等式法 【适用场合】当堂练习题【难度系数】3同刊.j片2 r厂斗f仏口至少一个为0时，等号成立丿；k- (a - fy.) c -I J f,山中三少个为0时等号成主丿- 以
