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1、【教案目标】（1）掌握椭圆的定义（2）掌握椭圆的几何性质（3）掌握求椭圆的标准方程【教案重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【教案过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点尸到两个定点耳、耳的距离之和等于常数 F耳“I閃I二加|巩码|）,这个动点尸的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两 焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若I邛I十片二闻码I,则动点尸的轨迹为线段 对码；若肝ii十I网I吒朋I,则动点尸的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程1.当焦点在兀轴上时，椭圆的标准方程：2 2二十12,其中U-阱;2当焦点在戸轴上时，椭圆的标准方程：尹十庐沁 叭
2、其中宀宀护；注意： 1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭 -I I圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有ab。和；3.椭圆的焦点总在长轴上当焦点在龙轴上时，椭圆的焦点坐标为（小，（小）；当焦点在卩轴上 时，椭圆的焦点坐标为（花），（D。2 2工y-（必30）的的简单几何性质-十二 I知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆/y民1 _ _ Z*-咔丿金工1(1)对称性对于椭圆标准方程，把x换成_x,或把y换成_y,或把+ 2 = 1x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称
3、中心称为椭圆的中心。讲练结合：(2)范围椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|Wa, |y|b 0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为(_a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, _b), B2 (0, b)。线段 AA2，B分别叫做椭圆 的长轴和短轴，IAA2l=2a, IBB2l=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)2c c0 二= 离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作 加 左。因为ac0，所以e的取值范围是0VeV 1。e越接近1，贝V c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁
4、；反之，e越接近于0, c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2（3）站堪二因芯I 二 y IaI=IaI=c ,标准方程号十片=1(0)a b“：十丿：=1(0)b a图形?L-JU性质隹占八、八、屑YQ),恥)昌(Ac, FM焦距|月必|= 2心肘-巧1月必1=巧范围|剂兰辽，|沪国b对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点曲0 (0 出)(Q 土(M)轴长轴长=加，短轴长=加离心率 (0 ? b0)的区别和联系注意:4+4|椭圆 b(ab0)的相同点为形状、大小都相同，参数间s = (0 c b0和，
5、a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点分析考点一：椭圆的定义【例1】方程丫心2上+ y2 ；(x + 2J2 + y2二10化简的结果是。【例2】已知片(-8, 0), F2(8, 0),动点P满足IPFI+IPF2I=16，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆 C线段D直线x 2 y 2【变式训练】已知椭圆弋+ 2 =1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点16 9距离为。考点二：求椭圆的标准方程【例 3】若椭圆经过点(5, 1), (3, 2)则该椭圆的标准方程为。【例4】A ABC的底边BC = 16 , AC和AB两边上中线长之和为30,求
6、此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.【例5】求以椭圆9x2 + 5y2 = 45的焦点为焦点，且经过点M(2, J6)的椭圆的标准方程.【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且a2 = 13 , c2 = 12的椭圆的标准方程为。2、焦点在x轴上，a : b = 2:1 , c =拓椭圆的标准方程为。3、已知三点P (5, 2)、F (6, 0)、F (6, 0),求以F、F为焦点且过点P的椭1 2 1 2 圆的标准方程；厂一厂4J5 2运4、 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和,过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.考点三：利用标准方程确定参数【
7、例6】若方程-5 k+上k3=1(1) 表示圆，则实数k的取值是.(2) 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.(3) 表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.(4) 表示椭圆，则实数k的取值范围是.【例7】椭圆4x2 + 25y2 = 100的长轴长等于，短轴长等于，顶点坐标是，焦点的坐标是，焦距是，离心率等于。x 2 y 2【变式训练】1、椭圆+ 二1的焦距为2，则m =。4m2、椭圆5x2 +灯2 = 5的一个焦点是(0,2)，那么k =。考点四：离心率的有关问题一、求离心率1、用定义(求出a,c或找到c/a)求离心率(1 )已知椭圆C :兰+琴二1,(a b 0)的两个焦
8、点分别为F (1,0),F (1，0),且椭圆C a2 b21241经过点p (3,3) 则椭圆c的离心率。x2 y 23a(2)设FF是椭圆E:+= 1(a b 0)的左、右焦点，P为直线x 上一点，1 2a 2 b22A FPF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()2 11 234(A) (B)(C) (D)2 345x2 y 2（3）椭圆1 （ab0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若a 2 b21 2IAFI, IFF2I, IF成等比数列，则此椭圆的离心率为.（4） 在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线距离为1,则 该椭圆的离心率为。
9、2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e。ma2 + nac + pc2 = 0 =m + - - + p()2 = 0m a a（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）4321A. 5 B.5 C. 5 D. 52）在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的标准方程为乂 +学=1（a0,b0）,右焦点为a 2b2F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d , F到l的距离为d ,12若d =V6d，则椭圆C的离心率为2 1（3）设椭圆的两个焦点分别为F.F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形FPF2为等腰直角三角形，则椭圆
10、的离心率为。二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）1、直接根据题意建立a, c不等关系求解.x2 y2（1）椭圆一 + = 1（ab0）的焦点为F，F，两条准线与x轴的交点分别 为 a2 b212M，N，若MN F F，求椭圆离心率的取值范围。1 2 2 1 22、借助平面几何关系(或圆锥曲线之间的数形结合)建立a, c不等关系求解设F，F分别是椭圆一 + J二1( a b 0 )的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使 12a 2 b2线段 PF 的中垂线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是。 123、利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解.(焦半径或横纵坐标范围建立不等式)x
11、2y 2(1)椭圆一 + J二1 (a0,b0)的两个焦点为耳、F2，若P为其上一点，且IPF=2IPF2I,a 2b21 2 1 2则椭圆离心率的取值范围为。x2 y 2(2)已知椭圆一 + J二1(a b 0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂 a 2 b2直于PA,求椭圆的离心率e的取值范围。X 2 y 2(b 2(3)椭圆一 + = 1( a b 0)和圆x2 + y2 = - + c (其中c为椭圆半焦距)有四 a 2 b 212 丿个不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围。考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用【例14】已知椭圆方程 y lCa b 0),a 2 b2P 是
12、椭圆上一点，ZAPA 9，ZFPF a1 2 1 2示)1分析：求面积要结合余弦定理及定义求角5两邻边，从而利用亍ab sin C求面积x2 y 2F2 是其焦点， 且【变式训练】、若P是椭圆100 + ：4 1上的一点，F1ZF PF = 60。，求 FPF 的面积.1 2 1 22 、 已知 Px2y 2是椭圆25+9 1上的点，F、F2 分别是椭圆的左、右焦点， 若PF - PF.1I PF I -1 PF I122，则 FPF的面积为（）2 1 2C. v3A. 3、話课后作业：一、选择题1已知片（-8, 0）, F2（8, 0）,动点P满足IPFI+IPF2I=25，则点P的轨迹为（
13、）A圆 B椭圆 C线段 D直线x 2 y 23已知方程厂 +严 =1表示椭圆，则k的取值范围是（）1 + k 1 一 kA -lklB k0C k測 kv-1D k117、 椭圆+=1 与椭圆+=X（X0）有（）3223（A）相等的焦距（B）相同的离心率（C）相同的准线（D）以上都不对18、 椭圆 x2 + y2 = 1 与 x2 + y2 = 1 （0k9）的关系为（）25 99 九 25 九（A）相等的焦距 （B）相同的的焦点（C）相同的准线（D）有相等的长轴、短轴二、填空题x 2y 22、椭圆花 = 1左右焦点为耳、F2，CD为过耳的弦，则A CD耳的周长为16 9 1 2 1 14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1) 长轴长为 10，短轴长为 6(2) 长轴是短轴的 2 倍，且过点(2， 1)(3) 经过点(5， 1) ， (3， 2)5、若/ABC顶点B、C坐标分别为(-4, 0), (4, 0), AC、AB
