音乐中的各音阶与频率的关系

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1、音乐中的各音阶与频率的关系-十二平均律ZZ2009-09-1814:46“律”，即“音律” （in to nati on ），指为了使音乐规范化，人们有意选择的一组 高低不同的音符所组成的体系，以及这些音符之间的相互关系。比如大家都知道的 do、re、mi、fa、so、la、si，这7个音符就组成了一组音律。研究音律的学问叫 做“律学”。也就是研究为什么要选择 do、re、mi这7个音（当然也可以选择 其它音）作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是 什么关系的学问。对于任何民族来说，只要他们有着丰富的音乐体验，只要他们想积累起关于音乐的 知识，迟早都会遇到关于律学的问

2、题。令人惊讶的是，古今不同民族，虽然各自钟 爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳，彼此也没有互相借鉴，但大家的律学的基 础概念却出奇地相似。这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。（BTW现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si，这些好像没有意义的单词，其 实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏（ chant ）的首音节。这些圣咏 是西方现代音乐的源头。）学过高中物理的都知道，声音的本质是空气的振动。而空气的振动是以波的形式传 播的，也就是所谓的声波。所有的波（包括声波、电磁波等等）都有三个最本质的 特性：频率/波长、振幅、相位。对于声音来说，声波的频率（声学中一般不考虑

3、精心整理波长）决定了这个声音有多“高”，声波的振幅决定了这个声音有多“响”，而人耳对于声波的相位不敏感，所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。律学当然不考虑声音有多“响”，所以律学研究的重点就是声波的频率。一般来说， 人耳能听到的声波频率范围是 20HZ（每秒振动20次）到20000HZ（每秒振动20000 次）之间。声波的频率越大（每秒振动的次数越多），听起来就越“高”。频率低 于20HZ的叫“次声波”，高于20000HZ的叫“超声波”。（BTW人耳能分辨的最小频率差是 2H乙举例而言就是，人能听出100HZ和 102HZ 的声音是不同的，但听不出100HZ和101HZ的声音有什么不同。另

4、外，人耳在高音 区的分辨能力迅速下降，原因见后。）需要特别指出的是，人耳对于声波的频率是指数敏感的。打比方说，100HZ 200HZ300HZ 400HZ这些声音，人听起来并不觉得它们是“等距离”的，而是觉得越到后面，各个音之间的“距离”越近。100HZ 200HZ 400HZ 800HZ这些声音，人听起来才觉得是“等距离”的（为什么会这样我也不清楚）。换句话说，某一组 声音，如果它们的频率是严格地按照x 1、X 2、X 4、X 8，即按2n的规律排列 的话，它们听起来才是一个“等差音高序列”。（比如这里有16个音，它们的频率分别是110HZ的1倍、2倍、3倍16倍。大 家可以听一下，感觉它们

5、是不是音越高就“距离”越近。用音乐术语来说，这些音 都是110HZ的“谐波” （harmonics ）,即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍。 这个ogg文件可以用“暴风影音” / StormCodec软件来试听。）精心整理由于人耳对于频率的指数敏感，上面提到的“X2就意味着等距离”的关系是音乐中 最基本的关系。用音乐术语来说，X2 就是一个“八度音程”（octave ）。前面提到 的do、re、mi中的do,以及so、la、si后面的那个高音do,这两个do之间就是 八度音程的关系。也就是说，高音do的频率是do的两倍。同样的，re和高音re之 间也是八度音程的关系，高音re的频率是re的

6、两倍。而高音do上面的那个更高音 的do,其频率就是do的4倍。也可以说，它们之间隔了两个“八度音程”。显然， 一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”，但不是它的所有“谐波”都是自己 的“八度音程”。很自然，用do、re、mi写的歌，如果换用高音do、高音re、高音mi来写，听众只 会觉得音变高了，旋律本身不会有变化。这种等效性，其实就是“等差音高序列” 的直接结果。“八度音程”的重要性，世界各地的人们都发现了。比如我国浙江的河姆渡遗址， 曾经出土了一管距今9000年的笛子（是用鹤的腿骨做的），它能演奏 8个音符，其 中就包含了一个八度音程。当然这个八度音程不会是do到高音do,因为只要是一

7、个 音的频率是另一个的两倍，它们就是八度音程的关系，和具体某一个音有多高没有 关系。明白了八度音程的重要性，下面来介绍在一个八度音程之内，还有那些音是重要的。 这其实是律学的中心问题。也就是说，如果某一个音的频率是F,那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。精心整理如果大家有学习弦乐器（比如吉它、古琴、小提琴）的经验的话，都明白它们能发 声是因为琴弦的振动。而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。如果在一根弦振动 的时候，用手指按住弦的中点，即让原来全部振动的弦，变成两根以1/2长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音。这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。因为在物理上，弦的振动频率和其长度

8、是成反比的。由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想：如果八度音程的 2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式 就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上2:1是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是3:1。那么，我们如果按住弦的1/3点，会怎么样呢？其结果 是弦发出了两个高一些的音。一个音的频率是原来的3倍（因为弦长变成了原来的1/3 ），另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3 ）。这两个音彼此也 是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1 ）。这样，在我们要寻找的F2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即 3/2F

9、。（那个3F的频率正好处于下一个八 度，即2F4F中的同样位置。）接着再试，数学上简单性仅次于3:1的是4:1 ,我们试试按弦的1/4点会怎样？又出 现了两个音。一个音的频率是原来的 4倍（因为弦长变成了原来的1/4 ），这和原来 的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。另一个音的频率 是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4 ）。现在我们又得到了一个重要的频率，4/3F。同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。在听觉上，与主音 F 最和谐的就是3/2F和4/3F （除了主音的各个八度之外）。这个现象也被很多民族分 别发现了。比如最早从数学上研究弦的振动问题的古

10、希腊哲学家毕达哥拉斯精心整理（Pythagoras，约公元前6世纪）。我国先秦时期的管子地员篇、吕氏春 秋音律篇也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦，“三分损一”， 即均分弦为三段，舍一留二，便得到 3/2F。如果“三分益一”，即弦均分三段后再 加一段，便得到4/3F。得到这两个频率之后，是否继续找 1/5点、1/6点等等继续试下去呢？不行，因为听 觉上这些音与主音的和谐程度远不及 3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F的和谐 程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（

11、3/2）2F即9/4F。可是这已经超出了 2F的范围，进入了下一个八度。没关系，不是有“等差 音高序列”吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音， 于是把9/4F的频率减半，便得到了 9/8F。接着把这个过程循环一遍，找3/2的3次方，于是就有了 27/8F，这也在下一个八度 中，再次频率减半，得到了 27/16F。就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的 情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上， 不用继续找下去了。可是（3/2）n只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不 用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此

12、开始。数学上不可能的事，只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注 意到（3/2 ） 57.59，和23= 8很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个精心整理音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样，从主音F开始，我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环 5次,得到了 5个音，加上主音和4/3F， 一共是7个音。这就是为什么音律上要取 do、re、mi等等7个音符而不是6个音符 或者8个音符的原因。这7个音符的频率，从小到大分别是 F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。如果这里的F是do,那么9/8F就是re、81/6

13、4F就是mi，这7个频率组成了 7声音阶。这7个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音(tonic )、上主音(supert onic )、中音(media nt)、下属音(subdo minant )、 属音(dominant )、下中音(submedia nt)、导音(leadi ngtone )。其中和主音关 系最密切的是第5个“属音” so和第4个“下属音” fa，原因前面已经说过了，因 为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属 音” so即3/2F推导出来的，而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”

14、。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥 拉斯(所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagoreantuning )，东方是管 子一书的作者(不一定是管仲本人)。我国历代的各种音律，大部分也都是从“三 分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：dore、remi、faso、sola、lasi之间的频率比都是9:8，这个比例被称为全音(tone ) ; mifa、sido之间的频率比都是256:243，这个比例被称为半音(semitone )。精心整理“五度相生律”产生的7声音阶，自诞生之日起就不断

15、被批评。原因之一就是它太 复杂了。前面说过，如果按住弦的1/5点或者1/6点，得到的音已经和主音不怎么 和谐了，现在居然出现了 81/64和243/128这样的比例，这不会太好听吧？于是有 人开始对这7个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律” （just in to nation）。“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（AristoxenusofTarentum ）。（东方似乎没有人独立提出“纯律” 的概念。）此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就

16、是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍现在留下来的只有残篇，不过可 以证实的是他最先提出了所谓“自然音阶”。自然音阶也有7个音，但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的频率分别是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确实简单多了吧？也确 实好听多了。这么简单的比例，就是“纯律”。可以看出“纯律”不光用到了 3/2的比例，还用到了 5/4的比例。新的7个频率中和原来不同的就是 5/4F、5/3 （ = 5/4 X4/3 ） F、15/8 （= 5/4 X 3/2 ） F。虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听，数学上也简单，但 它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了，但各