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1、模拟试题一一、判断题：(正确：V,错误：X)(每小题2分，共10分)1、 若 A, B 为 n 阶方阵，则 |A + B = |A| + |B| ()2、 可逆方阵A的转置矩阵AT必可逆. ()3、n元非齐次线性方程组Ax = b有解的充分必要条件R(A) = n 叫 )4、 A为正交矩阵的充分必要条件At = A-1 ()5、设A是n阶方阵，且|A| = 0，则矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合.()二、填空题： (每空2分，共20分)1、A, B 为 3 阶方阵，如果 IA1= 3,1 B1= 2，那么 I2AB-11=.2、行列式中元素a的余子式和代数余子式M ,A的关系是.ij
2、y y3、在5阶行列式中，项a a a a a所带的正负号是13 32 24 41 55(6、4、已知 A =(2 0 1B =5 则 AB =.- 2 (5 2、5、 若A =，则A-1 =I-2 1 丿 (10 10 - 8、6、设矩阵0 1 -1 0 13是4元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵，则、0 0 0 1 2 Ax=b的通解为/、7、 RA + B)RA丿+ R(B丿.8、若A*是A的伴随矩阵，则AA* =.( 1 1 1 、丿9、设A =012 ，则当t时，A的行向量组线性无关.、0 0 t 5 丿10、方阵A的特征值为入，方阵B = A 2 4A + 3E，则B的特征值为.
3、三、计算：(每小题8分，共16分)101、已知4阶行列式D =2-2，求 2 A+ A - A + 3 A 112131411、0，求矩阵B.1丿的基础解系和它的通解1 02、设矩阵A和B满足AB + E = A2 + B，其中A = 0 21 0x -x +x + x =01234四、（10分）求齐次线性方程组彳-x + x -2x -x =012343 x + x + 2x - 5x = 012342x - 2x + 4x + 2 x = 01234五、（10分）设三元非齐次线性方程组Ax = b的增广矩阵为11九九2、0九一 11 一九九（1 一九）卫 0（1 一九）（2 +九）（1 一
4、九）（1 +九）2丿讨论当九取何值时，Ax = b无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通 解.3 r 1 7、rr 4-2、22-2a=1, a =rr2, a =一 6, a =rr 61234、一1丿、一1丿六、（10分）判断向量组A :的线性相关性，如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量.七、综合计算：（本题 14分）已知二次型 f （x , x , x ） = x 2 + 2x 2 一 2x 2 一 4x x1231231 3（1）求二次型所对应的矩阵A，并写出二次型的矩阵表示；（2）求 A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换 X = PY 化二次型为标准形
5、, 并写出标准形（4）判断该二次型的正定性。八、证明题：（每小题5分，共10分） 1、已知向量 a ,a ,a 线性无关，证明 b = 2a + 3a ,b = a + 4a , b = 5a + a 线性123112223331无关.2、某矿产公司所属的三个采矿厂厲皿2皿3,在2011年所生产的四种矿石b ,b ,b ,b ,b 的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表： 12345矿石产量bbbbb工厂7i2345a 110020305020 28020207030 33060106050各矿石单价23654（1）做矩阵A 表示2011年工厂a.产矿石b .的数量（i =
6、1,2,3; j = 1,2,3,4,5）； 3x5ij2）通过矩阵运算计算三个工厂在 2011 年的生产总值.模拟试题二一、判断题（正确的打V,不正确的打x ）（每小题2分，共10分）1、设A,B 为“阶方阵，则 |A + B = A + |B|；（）2、可逆矩阵A总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ;（）3、设矩阵A的秩为r，则A中所有r -1阶子式必不是零；（）4、若兀丸,x丸是非齐次线性方程组Ax = b的解，则x丸+g也1 2 1 2 是该方程组的解.）5、n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。二、填空题（每小题2分，共16分）1、排列7623451的逆序数是12 3 42
7、3412、设四阶行列式D =丄i，则A + 2A + 3A + 4A =,43412142434444 12 3其中A为元素a的代数余子式;ijij3、设A、B均为5阶矩阵，|A| = 2,Bl = 2，则卜BA-1 =24、3(a -a) + 2(a + a) = 5(a + a)，其中a = (2,5,1,3)t , a = (10,1,5,10)t12312a = (4,1,-1,1)t，贝0 a =35、已知向量组 A: a1,a21丿向量b =，当ku丿时，b可由A线性表示，且表示法唯一；1 -1 23 6、设齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵通过初等行变换化为010 - 2 ,则
8、_0000 _此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为；7、设向量a = （1,-2,-1）T，卩=（-2,九,2正交，则X =；8、设3阶矩阵A的行列式AI=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征 值为 三、计算题（每小题8分，共16分）（-1 - 4、（10、1、设矩阵A = *, B =c0，求矩阵AB和BA oI 1121丿( 1 1 -1 、(2、(6、2、已知矩阵 A =-21 1， B =3， C =61 1 1 l丄J.丄丿i6 i0 (1、(k、(2、已知向量组a =0,a =k + 2,a =k + 21i0 2i1 - k 丿3i -2丿求矩阵方程AX - B = C
9、 o四、 计算题（每小题8分，共16分）1、9（1）k 取何值时，该向量组线性相关；（2）k 取何值时，该向量组线性无关 说明理由。2、已知二次型 f(x ,x ,x )=2x2+5x2 +5x2 +4x x -4x x -8x x ，1231231 21 32 3（1） 写出此二次型对应的矩阵 A;（2） 判断该二次型是否正定二次型,说明理由。共 20 分）五、计算题（每小题10分,1、设矩阵 A=1-223-24-13-120306232、-634丿求：（1）矩阵A秩；（2）矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组。.2、求非齐次线性方程组彳x + x + x + x = 212342 x +
10、 3 x +x +x =1所对应的齐次线性方程组的基础解1234x + 2 x + 2 x = 5134系和此方程组的通解。厂1六、（12分）设矩阵A = 0 03-10求矩阵A的特征值和全部的特征向量;求可逆矩阵P，使得P-1AP = A （其中A是对角矩阵），并写出对角矩阵A。 七、（5分）证明题设方阵A满足A2+A - E = O，证明：A可逆并求它的逆矩阵。 八、（5分）应用题假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：商店10.100.15_人员1_ 5103_城镇110005000.150.20人员2_ 455 _城镇2_2000
11、10000.100.10商店2梨苹果橘子人员1人员2而第 三个矩阵为 C。苹果 橘子 梨设第一个矩阵为 A，（1）求出一个矩阵（2）求出一个矩阵,第二个矩阵为 B,它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？ 它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？模拟试题三一、判断题：（正确：V,错误：X）（每小题2分，共10分）1、 A, B 为 n 阶方阵则 |AB|= |BA|()2、 设A为m xn(m n)矩阵，则Ax = b有无穷多解。()3、向量组A1是向量组A的一部分，向量组A1线性无关，则向量组A 一定线性相11关；()4、设九，九是方阵A的特征值，则九+入也是方阵A的特征值。1 2
12、1 2()5、4个3维向量一定线性相关。()二、填空题：(每空2 分，共 20 分)1、已知A为3阶方阵，且A = -2，则|-2 A =；2、六阶行列式中某项ai a a3a a a带有的符号为；15 21 36 42 53 643、设A为n阶方阵，满足A2- A = E，则A-1 =；4、设g, g是n元非齐次线性方程组Ax = b的两个解，且A的秩R(A) = n-1，则12Ax = b的通解x =；5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为10 2-11、B= 0 1 -300,则k =时方程组无解，、0 0 0(1-k )k 1 - k 2 /当k =时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次
13、线性方程组的基础解系中有个向量。6、二次型 f = -2x 2 + 4xy - 6y 2 - 4z 2 + 4xz 的秩为，正定性为(请选正定、负定、不定之一)。7、方阵A的特征值为九，方阵B = A2 + 2A-3E，则B的特征值为三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式D =11-21011-1-12012121，求 2 A11 + A21 + A31 + 2 A411 1 1、2、已知A = 1 2 1 ,试判断A是否可逆。若可逆，求a -1，若不可逆，求A的 I1 1 3 丿伴随矩阵 A*四、计算：（每小题10分，共 20分）2 x 一 x + x + x = 012341、求齐次线性方程组的基础解系和它的通解。一 x + x 一 2 x 一 x = 012344 x - 2 x + 2 x + 2 x = 012342 x 一 2 x
