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1、证明三点共线方法举要四川省广元市宝轮中学唐明友有些数学问题要求你证三点共线，或者过程中需要你证三点共线，不少同学觉得无从下 手，茫然失措，有些同学甚至想当然地把这三点看成在一条直线上，显然有失严密性，造成解题不完整或失误。本文介绍证明三点共线的若干种方法，希望对你有所帮助。一运用平角的定义证三点共线例1.已知：在 ABC的边AC、BC的外侧作等边 ACE、等边 BCD，这两个三角形的外接圆相交于另一点O,求证：点A、O、D三点共线。 证明：连接OA、OC、OD，四边形AOCE内接于圆，Z2+ZE=18O0又厶ACE和厶BCD都是等边三角形，.ZE=6O0，Z3=60AZ2=180-ZE=180
2、 600=1200，VZ1=Z3=60 0,AZ1 + Z2=18Q0.点A、O、D三点共线。二运用“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”证三点共线例2已知：AD是厶ABC中ZCAB的外角平分线，过C作CD丄AD于D,点E、F分别 为AC、BC的中点，求证：D、E、F三点共线。证明:连接DE、EF ；DE是RtAADC斜边上的中线, .DE=AE=EC，.Z2=Z3 .AD 平分ZCAX，.Z1=Z2 Z1=Z3,DEAB 又VEF是厶ABC的中位线 ：EFABD、E、F三点共线。三. 运用“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”证三点共线例3.如图，直线DA、DC、CB分别切00于点
3、A、 E、B，ADBC, AD=2,BC=4,求00 的直径。解：连接0A、0B,过D作DF丄BC于FTDA、DC、CB均是00的切线 0A 丄AD,OB 丄BC,DE=DA=2,CE=CB=4又.ADBC,OA丄BC 根据0B丄BC, 0A丄BC，可知点A、0、B三点共线， 即AB是直径，在 RtADFC 中，DF= PDC2 CF2 = 62 22 =4因此，00的直径AB为4四. 运用“连接其中的两点构成的两条线段重合”证三点共线 例1.如图，在梯形ABCD中，ADBC, AD、BC的中点分1别是 M、N,ZB+ZC=900，且 BCAD，求证：MN=尸(BC-AD)证明：延长BA、CD
4、相交与G,分别连接GM、GN, 由已知得厶GBC、AGAD都是RtA, 先在RtAGAD中，GM是斜边上的中线， GM=GA=MD,AZMGA= Z1同理可证ZNGB=ZBVAD#BC,AZ1=ZB .ZMGA=ZNGB，即 ZMGA 与 ZNGB 是 同一个角，GM和GN重合.点G、M、N三点共线由直角三角形斜边上中线的性质有:11GM= AD,GN= BC221因此，MN=GNGM= (BC-AD)o2五. 运用“连接其中两点的直线必过第三点”证三点共线例5.已知：AABC的外心为O 垂心为H, 0M丄BC于M,1(1)求证：0M= - AH厶(2)设厶ABC的重心为G, 求证：点0、H、
5、G三点共线。证明：(1)如图1,作直径BD,连接AD、CD, 则0、M分别是BD、BC的中点,1.0MCD，且 0M= CD2又 ,ZBAD=90 0 , CH丄 AB.ADCH又知 AH丄BC, OM丄BC,0MAHCD四边形AHCD是平行四边形，.CD=AH1因此，0M= AH2如图2,连接AM、OH,设AM与OH交于1G ,由（1）得 0M= AH 且 OMAH,1 2.OMG HAG1 1AG AH 11:.=，即 MG = AGMG MO 2i 2 ii但AM ABC的中线，G是这个三角形的外心，又6是4ABC的外心 i G与G重合i因此，点O、H、G三点共线。六运用“三角形中两边之
6、和等于第三边”证三点共线例6已知：点P为等边 ABC外一点，设PA=PB+PC，将 ABP绕点A旋转至 ACD, 求证：点P、C、D三点共线。证明：由图形可知旋转角是60。，；.ZPAD=60 0且PA=DA, PAD是等边三角形.PA=PD又ABPACD, /. PB=DC若 PA=PB+PC，A DC+PC=PD PCD不能构成三角形，即点P、C、D三点只能 共线。以上有些例题还可运用其他方法证明三点共线，比如例3还可通过添加辅助线运用第一种和第二种方 法予以证明，留给同学们自己去思考。总之，这类题型具有一定的技巧性，且综合性较强，但证明所运用的知识却很简单，只 要善于总结，及时反思，注重数学思想方法和数学思维的训练，同学们的综合解题能力就可 以迅速提咼。
