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1、承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的
2、全名）： 西安培华学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 胡斌斌 2. 罗丹 3. 白桂兴 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李艳 日期： 2012 年 8 月 26 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文对储油罐的变位识别和罐容表的标定问题进行了探讨，建立了储油量和油位高度以及变位参数之间关系的数学模型
3、，主要应用了MATLAB进行求解。针对问题一首先:建立小椭圆储油罐罐体无变位情况下的模型，并运用解析几何与积分的方法，确定罐体无变位时储油量和油位高度之间的关系。其次:将罐体无变位情况下随油位高度变化的储油量理论值（模型所得数据）与储油量实际值（附件1无变位数据）进行对比分析，从而，确定储油理论值关于储油实际值的修正因子。再次:建立小椭圆储油罐罐体倾斜情况下的模型，在无变位的基础上确定罐体倾斜时罐内油体积与液面高度之间的关系，对模型求得的理论值利用修正因子进行修正。最后:分析修正后的理论值与实际值间的误差，给出小椭圆储油罐倾斜时油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。针对问题二首先：分别建立实际储
4、油罐罐体在“无变位、仅横向偏转、仅纵向偏转”情况下的模型，并运用微积分方法，分别确定罐体储油量和油位高度之间的关系。其次：在实际储油罐的罐体总体积求得的基础上，综合考虑实际储油罐罐体横向、纵向偏转，对罐体分5个区域进行讨论。再次：建立罐体变位（横向、纵向）后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系，并确定变位参数值为：，。最后：给出实际储油罐变位时油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。并利用附件2数据对其进行对比检验，运用MATLAB绘制储油量理论值与实际值的误差图，从而分析出此时的符合实际情况。关键词： 积分法 微积分法 修正因
5、子 MATLAB一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”(管理系统：用“流量计”和“油位计”来测量进/出油量与罐内油位高度等数据），通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。原题图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。原题图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，原题图3是罐体横
6、向偏转变位的截面示意图。请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1） 建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（利用如原题图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.1的纵向变位两种情况的实验数据（附件1）（2） 对于原题图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，（即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系）。根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。（利用罐体变位后在进/出油过程
7、中的实际检测数据（附件2）进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验所建立模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析2.1、问题一分析为了研究小椭圆储油罐罐体变位后对罐容表的影响，先建立罐体无变位情况下油的体积与油位高度的关系式，并对小椭圆储油罐罐体无变位情况储油量理论值与实际值做出分析，给定一理论值对于实际值的修正因子。在罐体无变位的情况下，再建立罐体倾斜情况下油的体积与油位高度的关系式，并用修正因子对储油量的理论值进行修正，并用修正的理论值与实际值进行对比。最终，给出小椭圆储油罐倾斜时油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。2.2、问题二分析为了确定实际储油罐变位参数，先分别建立罐体无变位情况下
8、、罐体仅横向偏转情况下、罐体仅纵向偏转情况下油的体积与油位高度的关系式。综合上述，再建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系，并确定变位参数值。最终，给出实际储油罐变位时油位高度间隔为10cm的罐容表标定值，并利用附件2数据对其进行对比检验。三、模型假设1、油罐罐体变位仅由地基变形引起，不考虑罐体自身变形等因素2、油浮子可以看成一个质点，其大小形状可以忽略不计。3、储油罐内的燃油不会对罐壁造成腐蚀。4、不考虑环境、温度、密度等因素对储油罐内储油量的影响。5、注油管、出油管和油位探针对罐内储油量的体积影响是一定的。6、
9、仅考虑油位高度和倾斜变位角度对储油罐储油量的影响四、符号说明小椭圆型储油罐截面的长半轴小椭圆型储油罐截面的短半轴实际油位高度小椭圆型储油罐水平方向长度小椭圆型储油罐在倾角时的水平方向长度小椭圆型储油罐阴影部分的截面面积罐体无变位情况下油的体积罐体发生变位时油的体积圆柱体半径球缺对应的半径球内小圆半径通过油浮子测量得到的油位高度储油罐的纵向偏转角度储油罐的横向偏转角度油位探针到油罐底部左侧的距离储油罐的总体积五、模型一的建立与求解5.1、小椭圆储油罐无变位情况小椭圆型储油罐未变位时，其两端为平面：（如图I）Y(0.2b)(0.b)-aahX图I 小椭圆截面图椭圆方程： 解得： 因此，椭圆的阴影部
10、分的截面面积为：令，则，代入上式可得：又令，则，且，从而可得：进一步简化得：所以，椭圆阴影部分的截面面积公式为：进而求得小椭圆储油罐无变位情况下油的体积与油位高度的关系式为(其中为小椭圆型储油罐水平方向的长度)：根据“小椭圆储油罐无变位情况下油的体积与油位高度的关系式”及附件1（无变位）数据，运用MATLAB绘制“罐体无变位时进油后储油量与油位高度的理论值与实际值对比的关系图”、“罐体无变位时出油后储油量与油位高度的理论值与实际值对比的关系图”（见图2、3）；并分别求得“进油后理论储油量与实际储油量相对比例”、“出油后理论储油量与实际储油量相对比例”。（附录一.Fun1、Fun2）图1 小椭圆
11、储油罐未变位进油后理论值与实际值对比图图 2 小椭圆储油罐未变位出油后理论值与实际值对比图由图可知：无变位进油和出油后随着罐内油位高度的变化，罐内储油量的实际值与理论值均有一定的差距。经计算，得到进油后、出油后理论储油量与实际储油量相对比例均为1.0349.故：我们认为1.0349为罐体储油量的理论值关于实际值的修正因子。将储油理论值进行修正，用MATLAB绘制“储油的修正理论值与实际值的对比图”（见图3）（附录一.Fun3）图 3 储油的修正理论值与实际值的对比图由图可看出储油的修正理论值与储油的实际值几乎完全重合，说明修正后相对误差很小，满足要求。经过仔细分析发现：油位探针、出油管等占有一
12、定的体积，而且随着油位高度的升高所占的体积成线性增大，所以认为无变位时的误差是由油位探针、出油管等引起的。5.2、小椭圆储油罐倾斜（纵向变位）情况小椭圆储油罐纵向变位时，油罐正面将会倾斜：（如图II）1.2m0.4m、m、2.05m油hL水平线油位探针图II 小椭圆油罐正面图可知：利用“罐体无变位情况下油的体积与油位高度的关系式”，得出“罐体发生变位时油的体积与油位高度的关系式”：考虑“小椭圆储油罐无变位时理论值关于实际值的修正因子（1.0349）”的存在，我们对“小椭圆储油罐倾斜时储油理论值”进行修正。根据“小椭圆储油罐倾斜情况下油的体积与油位高度的关系式”及附件1（倾斜变位）数据，运用MA
13、TLAB绘制“罐体倾斜时进油后储油量与油位高度的修正理论值与实际值对比的关系图”、“罐体倾斜时出油后储油量与油位高度的修正理论值与实际值对比的关系图”（见图4、5）；并绘制“进油后修正理论储油量与实际储油量的误差”、“出油后修正理论储油量与实际储油量的误差”图（见图6）。（附录二.Fun1、Fun2）图 4 小椭圆储油罐倾斜时进油后修正理论值与实际值对比图图 5 小椭圆储油罐倾斜时出油后修正理论值与实际值对比图图 6 修正理论储油量与实际储油量的误差随油位高度的变化图由上图我们可以看出罐体倾斜时不管是进油后储油量的误差还是出油后储油量的误差均随罐内油位高度呈同样的规律变化，且变化近似服从正态分布，说明该模型建立得贴合实际。由上述得到小椭圆储油罐倾斜时关于的公式，我们可以给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）（见表1）：表1罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值油位高度（cm）储油量（L）油位高度（cm）储油量（L）油位高度（cm）储油量（L）油位高度（cm）储油量（L）15.126634511608.2762652.3214.42766952
