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1、2011年全国初中数学联赛决赛试卷（4月10日 上午8：4511：15）考生注意：1本试卷共三大题（13个小题），全卷满分140分2用圆珠笔、签字笔或钢笔作答3解题书写不要超出装订线4不能使用计算器一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1一个凸多边形的每一个内角都等于150，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ）A42条 B54条 C66条 D78条2如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分BAD交BC于E若CAE15，则BOE（ ）A30 B45 C60 D753设方程的两根是c，d，则方程的分根 是（ ）Aa，b Ba，b Cc，d Dc，d4若不等式有解，则实数a的最小值是（
2、）A1 B2 C4 D65若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ）A18 B24 C30 D366不定方程的正整数解（x，y）的组数是（ ）A0组 B2组 C4组 D无穷多组二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上1二次函数的图象关于直线x=1对称，则y的最小值是_2已知，则的值为_3已知ABC中，AB，BC6，CA，点M是BC的中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是_4一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手参赛，每位选手都与其余10n1
3、个选手各对局一次计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍则n的所有可能值是_三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1（本题满分20分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立求实数a的所有可能值2（本题满分25分）抛物线的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0x1AC）的角平分线、高线，M是AD的中点MDH的外接圆交CM于E求证：AEB902011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明：评阅试卷时，请依据本评分标准：选择题和填空题只设7分和
4、0分两档；其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、B 2、D 3、A 4、C 5、B 6、A二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、1 2、0 3、 4、1三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、（本题满分20分） 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，使得成立。求实数的所有可能值。解：由条件知，解得或 （5分）又由根与系数的关系知， 于是， （10分）由，解得（舍去）或 （15分
5、）于是综上所述，所求的实数 （ 20分 ）2、（本题满分25分）抛物线的图象与轴有两个交点，且经过点，其中过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点（异于点），满足是等腰直角三角形，且求该抛物线的解析式解：由条件知该抛物线开口向上，与的两个交点在轴的右侧由于是等腰直角三角形，故点在轴的左侧，且故，从而， （5分）于是直线的方程为：设，由知， （10分）从而，即 （15分）综上可知，该抛物线通过点，于是， （20分）解得所以所求抛物线的解析式为 （25分）3、（本题满分25分）如图，、分别是（其中）的角平分线、高线，是的中点的外接圆交于求证：证明：如图，连结,是斜边的中点 （5分）四点共圆 （10分）,即 （15分）,又, （20分）四点共圆，. （25分）
