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1、模块六 数列 考纲解读最重要的是 数列求和性质 高考大纲考试内容要求层次ABC数列的概念和表示法数列的概念和表示法P等差数列等差数列的概念P等差数列的通项公式与前n项和公式P等比数列等比数列的概念P等比数列的通项公式与前n项和公式P 分析解读（1）以数列的前n项为背景，考查通项公式.（2）以数列的递推公式为载体，考差数列各项的求法及数列的通项.（3）由数列前n项和，求通项.（4）理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.（5）体会等差数列与一次函数的关系，掌握等差数列的一些基本性质.（6）理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.（7）体会等比数列与
2、指数函数的关系.（8）掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.（9）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题. 知识导航 考点剖析 考点一 数列的通项公式数列的通项的求法：1、公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。2、已知（即）求，用作差法：。3、已知求，用作商法：。4、若求用累加法：。5、已知求，用累乘法：。6、已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 考点二 数列的前n项和数列求和的常用方法：1、公式
3、法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，.2、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.3、相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.4、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.5、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项
4、分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；，； ；.6、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 考点三 等差数列的运算1、等差数列的判断方法：定义法或。2、等差数列的通项：或。3、等差数列的前和：，。4、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 考点四 等差数列的性质1、当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.2、若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3、当时,则有，特别地，当时，则有.4、若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，
5、而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.5、在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。6、若等差数列、的前和分别为、，且，则.7、“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。8、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究. 考点五 等比
6、数列的运算1、等比数列的判断方法：定义法，其中或。2、等比数列的通项：或。3、等比数列的前和：当时，；当时，。4、等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。 考点六 等比数列的性质1、当时，则有，特别地，当时，则有.2、若是等比数列，则、成等比数列；若 成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列.3、若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.4、当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。
7、5、.6、在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.7、如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 考点七 数列的综合应用1、数列应用题常见模型：（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑与的递推关系，还是与之间的递推关系.2、数列应用题的求解策略：（1）构造等差、等比
8、数列的模型（有时也会是其他较特殊的数列）.（2）运用相关概念、性质及求和公式进行运算.（3）通过“归纳猜想证明”的思路探索规律，并尝试应用规律解题.3、等价转化和分类讨论的思想方法在求解中起重要作用，复杂的数列问题总是要通过转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题来解决. 真题演练1.【2010北京,2,5分】在等比数列中，公比.若，则（A）9 （B）10 （C）11 （D）12 举一反三1.1【2010福建,11,4分】在等比数列an中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式an= .1.2 【2012安徽,4,5分】公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ） 1.3 【20
9、12浙江,13,4分】设公比为q（q0）的等比数列an的前n项和为Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_。2. 【2008北京,6,5分】已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）A B C D 举一反三2.1 【2012上海,18,5分】设，在中，正数的个数是（ ）A25 B50 C75 D1002.2 【2012课标全国,16,5分】数列满足，则的前项和为 2.3【2012福建,14,4分】数列an的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2012=_3.【2012北京,10,5分】已知等差数列为其前n项和。若，则=_。 举一反三3.1【2012重庆,1,5分】在等差数
10、列中，则的前5项和= A.7 B.15 C.20 D.25 3.2【2012浙江,7,5分】设是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是A.若d0，则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项，则d0C.若数列Sn是递增数列，则对任意，均有D. 若对任意，均有，则数列Sn是递增数列3.3 【2012全国,5,5分】已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A) (B) (C) (D) 4.【2011北京,11,5分】在等比数列an中，a1=，a4=-4，则公比q=_；_。 举一反三4.1 【2012辽宁,14,5分】已知等比数列an为递
11、增数列，且，则数列an的通项公式an =_。4.2【2012上海,6,4分】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。4.3 【2012课标全国,5,5分】已知为等比数列，则（ ） 5.【2008北京,14,5分】某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 举一反三5.1【2012上海,10,4分】在行n列矩阵中，记位于第行第列的数为。当时， 5.2【2012湖北,7,5分】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，
12、 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A B C D 5.3【2012四川,12,5分】设函数，是公差为的等差数列，则（ ）A、 B、 C、 D、6.【2009北京,14,5分】已知数列满足：则_；=_. 举一反三6.1【2012江西,12,5分】设数列an,bn都是等差数列，若，则_。6.2 【2011江西,5,5分】已知数列an的前n项和sn满足：sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10=（）A1 B.9 C.10 D.556.3【2012山东,20,12分】在等差数列中，.（）求数列的通项公式；（）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.7.【2008北京,20,5分】对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（）如果数列为5，3，2，写出数列；（）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时， 举一反三7.1【2012四川,16,4分】记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有
