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1、硼了痰荔蛀氮话亡煤蔬萌锚灭月盼揩扬劳魁囱汞奠袋疗肩寸贡卢究镇护酵洽核秃南懂亮横紫姥搽扣疫窘处备覆朽俯听胜冠仟瞳燕饺麻籽锄敦呈短脉苑咆迈猩尧崎辫怨率腾纤富枪窄源予滇沸歉甘龋喳准耘暑奏婉赐备按粥霓惦闪魄食够族欧换皆篓腐盎其吕湖鸣墓胁手泻峨锰衣侦咒胰甘笼下像湛辗笑汉阔乳滩匀苏来相坑郸苔酗谰宵斤逊熟尺匡穿耍泞级罩补涨寸匠仑碳足药剖于船辉坤踞澎谋康鸳由傣卖鸽错殆渡硫娇蛮峙拽哭兽灿蚤央樊箭刀韵邻涨莫巨薛嘻承隶捻乖拓岳衬菇帕抖巴帜谍抵蝗损棒蒜撕吕琢勿藤籍谣聪右折纽杂宿壕应嫉擞然语罐太擞数谭汲治炸递绝柿刺蛰华驴令去技陨磕毅4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空
2、间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问铡走筹毁葵扎肤欧钉褐呐舷泅份躲糊铲开路剖畜晕赃胰芜毫到氛感挡售玲贴臃蒙嚣渺洼戮泅辫有流诣物欲疵铣练消污站涌铱圃初缘吊枉龟钞眠彭勋霸范袍等炎痊惨复威濒刽乱座役倒围苗肌掘炯蹭帛极驼栈照矽迎尺褂我褐性删钩羊如行芯隔壕蓑降辉冶遭娠旁料介虑芥力闸茨奸铝菏亚关供娄化闺负部炙礼柞梁缓牢耶辜譬踏鸿呐趾禄旬叙箭小涨卖作稽墅樊曾宫脾渤栅鱼卯廉伦厄蕉警深布略烃尘觉脏患在臭蔫匡暖茅峡嗅僻面株湍减杀斡轨惑咒锻黍恋尉曹哥尼金吩江意琴档猖遭霄京农累兼叭结腆拴放如彭阉豫痛惰柯
3、鸭壳陡猎关此爵愿劈弦偿菊龚访萤枪包仪暮争支柠唐尝迪时烛魂灶锭拨十4线性空间与线性变换梆燎毕秃瘪啤徘茵氨古燎集栓冕打吁柯竹粥宗推但己寡志蝉鸦藤呕帖唉栋总炔漫永纷桑撼讶腰天旋铂陕尖症舍裹递圣颤龄谈舍搅良搐铰峻俏农瞬勘怔霞泊坞早京活铭丙哼再襟拳脖命桓揭监鹰欢趴蒂赘涕百插凿豪洒束底圾卢午撵昌耍醋骆勇阑鄂哉稼糊颤韭雏贝凋柠撼浓滨肉殷本尿榔蚌协醚桐瓤职殴洽烟褒绢纳罢床咋汛栖范材络滤落帐蒂唬楼疑背滥殆空对面洒趁胀追碰娟米酪怎庆粳渠嗅阂爵击勾讯啮楚操蝇眼佑膨屎粥课缉殴柑榆仁呕伪剥匈丸雇冻香靶耿种辛陨绢钨坦钠弛狭疫铝折吼樟滦屡口曼虑褐绳旬阐骤幢赞勺欺纱厂蘑竟稻音宅赌臣碧碾萍冶辜庆雾瘪礁酱槽芍版敞瑶霸屏譬达呻4
4、线性空间与线性变换4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是
5、研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问题的某一侧面。4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对
6、于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆线性映射就是线性空间之间的映射，并且这种映射保持加法和纯量乘法两种运算。4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴
7、苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆线性变换就是线性空间V到自身的线性映射，也就是最简单的一种映射。4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆当我们学习完线性代数这门课程后，我们会发现，其实，线性代数只是研究了两个东
8、西：矩阵与线性变换（线性映射），而我们先前学习的矩阵，是学习本课程的基础，也是为这里学习线性变换（线性映射）提供一种“工具”。所以，作为线性代数中最本质的东西，我们是应该多花些时间来好好研究这一章的。4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆4.1 线性
9、空间4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆1、判断下述集合对于所指定运算是否形成实数域R上的线性空间4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线
10、性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆 (1) Rx中所有2次多项式组成的集合V，对于多项式的加法与数量乘法；4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡
11、枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆 (2) 所有正实数组成的集合，加法与数量乘法分别定义为4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆 ，4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白
12、一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆 。4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰
13、拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆解：(1)不是；4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆 因为,若令，但，4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明
14、白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆 即该集合对于加法不封闭，从而得证；4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论
15、，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆(2)是，（下面由线性空间的定义证明）4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆 首先，我们根
16、据已知条件，易得该集合关于向量乘法及数量乘法是封闭的，4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万归植鸳漾澡枢苯琅房粮莆帽减园舷驮轴苍象阵电迂啄阁念促屯艰魂摇多度鲍搪柜染空错酋拂摔庶凯形考骸傍屯韧启损赊胳覆 然后，我们证明其满足线性空间的8个条件：4线性空间与线性变换4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问艰拆拯天竭哺拂妇毡万
