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1、自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数，后来随 着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数.从某种意义上说，幼儿 认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现.随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量.在 测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不 够用的矛盾.这样，分数就应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有 关于分数的问题.引进分数，这是数的概念的第一次扩展.最初人们在记数时，没有“零”的概念.后来，在生产实践中，需要记录和计算的东西越来越
2、 多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不可避免的了.我国古代筹算 中，利用“空位”表示零公元6世纪，印度数学家开始用符号0”表示零但是，把“0”作为一 个数是很迟的事.引进数0这是数的概念的第二次扩充.以后，为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家，九 章算术中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引 进负数，这是数的概念的第三次扩充.数的概念的又一次扩充渊源于古希腊。公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约 公元前580前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可 公度线
3、段比的精确数值,导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在， 至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是 数的概念的第四次扩充.数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶，意大利数学家塔尔 塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案.由此， 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用，成功地经受了理论 和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数，形 成复数系，这是数的概念的第五次扩充.上面，我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出，数的概
4、念的产生,实际上是交错进行的.例 如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在；在实数理论还未完全建立 之前,经运用虚数解三次方程了.直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学严密性 的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中 叶起，经过皮亚诺(G. Pea no, 18551939)、康托尔(G. Ca ntor, 18451918)、戴德金（R. Dedekind, 1831 1916）、外尔斯特拉斯（K.Weierstrass, 18151897）等数学家的努 力，完成了建立整个数系的逻辑工作.近代数学关于
5、数的理论，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较 严格的公理系统加以整理而建立起来的作为数的理论系统的基础，首先要建立自然数系， 然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是NZQRC（自然数集）（整数集）（有理数集）（实数集）（复数集）科学的数集扩充，通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中 去；二是构造法，即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集 是同构的.中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力，关于数系的扩充，主要是 渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是：自然数集（添零）扩大的自然数集（
6、添正分数）算术数集（添负有理数）-有理数集（添无理数）一实数集（添虚数）一复数集数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围.但是，数系的每一次 扩充也会失去某些性质.例如，从自然数系N扩充到整数系Z后，Z对减法具有封闭性， 但失去N的良序性质，即N中任何非空子集都有最小元素.又如，由实数系R扩充到复 数系C后，C是代数闭域，即任何代数方程必有根，但失去了 R的顺序性，C中元素已无 大小可言.数系扩充到复数系后，能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数 系的全部运算性质，那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求，那么进一步的扩充 是可能的.比如，放弃乘法交换律，复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘 法结合律的要求，四元数系H又可扩充为八元数系Ca等等.当然，在现代数学中，通常总 是把“数”理解为复数或实数，只有在个别情况，经特别指出，才用到四元数.至于八元数的 使用就更罕见了.
