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1、2018届高三数学成功在我一、考情分析数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考中占有极其重要的地位数列中整数解问题逐渐成为一个新的热点本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨,以期给同学们的学习带来帮助二、经验分享二元不定方程双变量的不定方程,在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解,方法较灵活,下面介绍3种常用的方法.方法1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积,多项式分解为若干个因式的乘积,再由题意分类讨论求解.方法2.利用整除性质：在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时,可分离变量后利用整除性质解决方法3.不等式估计法：利用不等式工具
2、确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围,再分别求解.如转化为 型,利用的上界或下界来估计的范围,通过解不等式得出m的范围,再一一验证即可.三、知识拓展1、整数的基本性质：（1）整数的和,差,积仍为整数（2）整数的奇偶性：若,则称为奇数；若,则称为偶数,在加,减,乘法运算中,其结果有以下规律： 奇数奇数偶数 奇数偶数奇数 偶数偶数偶数 奇数偶数偶数 偶数偶数偶数 奇数奇数奇数（3）若,且,则 （4）已知,若,且,则只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若,称能被整除,则有： 为的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集,均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整
3、数,则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内,若要求得变量的值,通常要依赖方程,而不等式只能解得变量的范围.但是在整数范围内,除了方程,在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）,例如：若,则的取值只能是.所以在涉及求整数的值时,思路不要局限于寻找等量关系,构造不等关系依然可以求解.（2）整除问题：若表达式形式较为简单,可通过对常数进行因数分解,进而确定变量的取值；若表达式次数较高,则可以先利用二项式定理去掉高次的项,再进行处理.（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时,不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个： 通过对表达式进行因式分解,对另一侧的常数进行
4、因数分解,进而将不定方程拆成多个方程的方程组,进而解出变量 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离,求出含变量函数的值域,进而将参数置于一个范围内,再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时,常见的矛盾有以下几点： 所解得变量非整数,或不符合已知范围 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来,其特征就是数列中项的序数,以及前项和的项数,均为正整数. 四、题型分析(一) 因式分解法【例1】【解析】【点评】本题中将不定方程变形为,因为分解方式是唯一的,所以可以得到关于k,m,的二元一次方程组求解.(二) 利用整除性质【例2】已知数列的通项公式为,若为数列
5、中的项,则_【答案】 【点评】（1）本题的亮点在于对的变形,在有关整数的问题里,通常可对分式进行“分离常数”的变形,从而将复杂的分式简化,并能立刻找到需处理的部分.例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在上.（2）本题对的处理有多个角度,还可以从分母出发,观察到应为奇数,而,而的奇因数只有和,同样可确定的值.【牛刀小试】已知数列的前项和为,且满足,（）.（1）求,的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在整数对,使得等式成立？若存在,请求出所有满足条件的；若不存在,请说明理由.,再求出. 解：由（2）得： 且 只需,即经计算可得：时, 解得： 共有三组符合题意： 【点评】（1）在第（2
6、）问中,要注意的取值范围变化,并且要把所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足.（2）二元不定方程在求解时,参变分离是一种方式,通过变形让两变量分居不等号的两侧,这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题）,来求得变量的解(三) 不等式估值法【例3】已知数列是各项均不为0的等差数列,是其前项和,且满足,令,数列的前项和为 （1）求数列的通项公式及 （2）是否存在正整数,使得成等比数列？若存在,求出所有的的值；若不存在,请说明理由.（2）【分析】先假定存在满足条件的,则由可得,无法直接得到不等关系,考虑变形等式：,分离参数可得：,以为突破口可解出的范围,从而确定的值后即
7、可求出 【解析】假设存在,则 即 即解得： ,代入可得：,解得： 存在,使得成等比数列 【牛刀小试】已知为等差数列,前项和为,若（1）求（2）对,将中落入区间内项的个数记为 求 记,的前项和记为,是否存在,使得成立？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由,得到关于的不定方程,可考虑对进行变量分离,以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数）,得到,即,然后代入解出符合条件的即可 时,解得：（舍）时,解得：（舍）时,解得：存在这样的,满足所给方程 【点评】1、本题中的方程,并没有在一开始就将代入,否则运算会复杂的多,所采取的策略为先化简变形,变形完成之后再代入.可简化不必要的运算2、本题在解的不定
8、方程所用的方法为变量分离法,将两个只含某一字母的式子用等号连接,则两边式子的范围应当一致.以其中一个式子作为突破口（比如）,再结合变量必须取整数的条件,便可用不等关系将变量所能取的值确定下来.(四) 反证法【例4】已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有： ,若,则：（1）求数列的通项公式（2）试探究：数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项,若不存在,请说明理由（2）【分析】首先要把命题翻译为等式,将其他项可设为,设存在某项,则,设,则同除以,就会出现左右两侧奇偶不同,从而假设不成立【点评】（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项,
9、则可表示为：,如果不一定相邻,则可用作角标,其中体现出这一串项所成数列中项的序数,而表示该项在原数列中的序数（2）本题还有一个矛盾点：题目中的项不一定为相邻项,但是可通过放缩将右边的项补全,变为从 一直加到 ,即.则,由整数性质可得,所以,与矛盾,所以不存在.【牛刀小试】已知数列满足（1）求证：数列是等差数列,并求数列的通项公式（2）设数列满足,对于任意给定的正整数,是否存在正整数,使得成等差数列？若存在,试用表示；若不存在,请说明理由【解析】（1） 不成立当时,成等差数列,同理可得： 设,此时 ,符合题意综上所述：时,不存在满足条件的时,存在,五、迁移运用1【江苏省常州2018届高三上学期期
10、末】已知各项均为正数的无穷数列的前项和为,且满足（其中为常数）, .数列满足.（1）证明数列是等差数列,并求出的通项公式；（2）若无穷等比数列满足：对任意的,数列中总存在两个不同的项, 使得,求的公比.因此,即.因为对任意,总存在数列中的两个不同项, ,使得,所以对任意的都有,明显. 若,当时,有,不符合题意,舍去；若,当时,有 ,不符合题意,舍去；故.2【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列的前项和,对任意正整数,总存在正数使得, 恒成立：数列的前项和,且对任意正整数, 恒成立.（1）求常数的值；（2）证明数列为等差数列；（3）若,记 ,是否存在正整数,使得对任意正整数, 恒成立,
11、若存在,求正整数的最小值,若不存在,请说明理由.-得： ,即,又+得： ,即为等差数列.（3）, ,由（2）知为等差数列.又由（1）知, ,3【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】若数列同时满足：对于任意的正整数, 恒成立；对于给定的正整数, 对于任意的正整数恒成立,则称数列是“数列”.（1）已知判断数列是否为“数列”,并说明理由；（2）已知数列是“数列”,且存在整数,使得, , , 成等差数列,证明： 是等差数列. 【解析】（1）当为奇数时, ,所以. .当为偶数时, ,所以. .若,则当时,不成立；若,则和都成立,所以.同理得： ,所以,记.设 ,则.同理可得： ,所以.所以是等差
12、数列.【另解】 , , ,以上三式相加可得： ,所以,所以 , , ,所以,所以,所以,数列是等差数列. 4【江苏省南通市如皋中学2017-2018学年第一学期高三第二次阶段测试】已知数列an的首项, , (1)求证：数列为等比数列；(2)记,若Sn100,求最大正整数n；(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列,且am1,as1,an1成等比数列？如果存在,请给以证明；如果不存在,请说明理由5【江苏省徐州市铜山中学2018届高三第一学期期中】已知数列的前项和为,满足, ,数列满足, ,且.（1）求数列和的通项公式；（2）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值
13、范围.（3）是否存在正正数,使成等差数列？若存在,求出所有满足条件的；若不存在,请说明理由.所以,由（1）得, 6【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列满足记数列的前项和为, （1）求证：数列为等比数列,并求其通项； （2）求； （3）问是否存在正整数,使得成立？说明理由.【解析】因为 ,即 ,所以. （3）假设存在正整数 ,使得 成立,因为 , ,所以只要 即只要满足 ： ,和： ,对于只要 就可以；对于,当 为奇数时,满足 ,不成立,当 为偶数时,满足,即 令 ,因为 即 ,且当 时, ,所以当 为偶数时,式成立,即当 为偶数时, 成立 .7【】江苏省徐州市2018届高三
14、上学期期中】已知数列的前项和为,满足,数列满足,且（1）求数列和的通项公式；（2）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围；（3）是否存在正整数,使,（）成等差数列,若存在,求出所有满足条件的,若不存在,请说明理由从而数列的通项公式为 （2）由（1）得,于是,所以两式相减得,所以, 由（1）得, 8【2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考】已知数列的首项为2,前项的和为,且（）（1）求的值；（2）设,求数列的通项公式；（3）是否存在正整数,使得为整数,若存在求出,若不存在说明理由.【解析】（1）易得因为,所以数列的通项公式为 （3）由（2）知, ,所以,所以,所以数列是常数列 由,所以则, 注意到,且为12的约数,所以,由知9.已知为等差数列,前项和为,若（1）求（2）对,将中落入区间内项的个数记为 求 记,的前项和记为,是否存在,使得成立？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由,得到关于的不
