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1、 第2讲函数的单调性及其最值考纲展示命题探究1单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数2单调性、单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间注意点正确理解函数的单调性从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区
2、间上不是增函数例如，函数yx2，当x0，)时是增函数，当x(，0时是减函数.1思维辨析(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)函数f(x)在区间a，b上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为a，b()(5)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)g(x)也是增函数()(6)已知函数yf(x)在R上是增函数，则函数yf(x)在R上是减函数()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是
3、()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x)Df(x)|x|答案C解析当x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数；当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数故选C.3(1)f(x)在(0，)上为减函数，则Af(a2a1)，Bf 的大小关系为_(2)函数f(x)lg x2的单调递减区间是_答案(1)AB(2)(，0)解析(1)因为a2a12，又f(x)在(0，)上为减函数，所以f(a2a1)f，即AB.(2)f(x)的定义域为(，0)(0，)，ylg u在(0，)上为增函数，ux2在(，0)上递减，在(0，)
4、上递增，故f(x)在(，0)上单调递减考法综述单调性是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等问题，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大，这一部分在导数章节有详解命题法判断函数的单调性典例(1)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()AyBy(x1)2Cy2xDylog0.5(x1)(2)函数f(x)log(x24)的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)解析(1)y(x1)2仅在1，)上为增函数，排除B；y2xx为减函数，排除C；因为ylog0.
5、5t为减函数，tx1为增函数，所以ylog0.5(x1)为减函数，排除D；y和tx1均为增函数，所以y在1，)为增函数，故选A.(2)由x240得x2.又ylogu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(，2)答案(1)A(2)D【解题法】函数单调性的判断方法(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)(3)复合函数法：适用于形如yf(x)的复合函数，具体规则如下表：函数 增减情况 内函数t(x) 增增 减 减 外函数yf(t) 增减 增 减 yf(x) 增减 减 增 yf(
6、x)的单调性可以利用口诀“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性(区间)(5)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性1设函数f(x)ln (1x)ln (1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数答案A解析由题意可得，函数f(x)的定义域为(1,1)，且f(x)ln ln ，易知y1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(x)ln
7、 (1x)ln (1x)f(x)，故f(x)为奇函数，选A.2已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()AabcBacbCcabDcba答案C解析由f(x)2|xm|1是偶函数得m0，则f(x)2|x|1.当x0，)时，f(x)2x1递增，又af(log0.53)f(|log0.53|)f(log23)，cf(0)，且0log23log25，则f(0)f(log23)f(log25)，即cab.3下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)xBf(x)x3C
8、f(x)xDf(x)3x答案D解析f(x)为指数函数模型，排除A、B.又f(x)为单调递增函数，排除C，故选D.4.已知实数x，y满足axay(0aBln (x21)ln (y21)CsinxsinyDx3y3答案D解析根据xy，函数f(x)x3单调递增，故x3y3，故选D.5已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_答案(1,3)解析f(2)0，f(x1)0，f(x1)f(2)，又f(x)是偶函数且在0，)上单调递减，f(|x1|)f(2)，|x1|2，2x12，1x0)的最小值为0.()(3)函数yf(x)可能只有最大值，没有最小值()(4)定义在
9、某开区间上的单调函数一定没有最值()(5)函数y的最大值为1.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知函数f(x)在区间1,2上的最大值为A，最小值为B，则AB()A.BC1D1答案A解析函数f(x)在区间1,2上为单调递减函数，所以当x1时，f(x)取最大值A1，当x2时，f(x)取最小值B，所以AB1，故选A.3对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析依题意，h(x)当02时，h(x)3x 是减函数，则h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.考法综述确定函数f(x)的值域或最值必须首先探求函
10、数在定义域内的单调情况若f(x)是基本初等函数，应先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法，也可直接利用函数图象和性质求解；若f(x)为其他函数，可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域，通常在选择题、填空题中出现，有时也在解答题中与恒成立、有解问题综合考查，属于中高档题目命题法利用函数的单调性求函数的最值典例(1)定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1B1C6D12(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当x时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之和为()A2B3C4D1解析(1)由已知得当2x1时，f(x)x2；当10，b0)求最值若“和定”则“积最大”，即已知abs，则ab2，ab有最大值，当ab时取等号；若“积定”则“和最小”，即已知abt，则ab22，ab有最小值2，当ab时取等号应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”(4)导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域1执行如图所示的程序框图如果输入的t2,2，则输出的S属于()A6，2B5，1C4,5D3,6答案D解析由程序框图可得S，其值域为(2,6
