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1、第 6 讲 双曲线知识硫理1双曲线定义平面内与两个定点行，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于IFfJ)的点的轨迹叫做双 曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合 P=M!IIMF| IMF2ll = 2a, IFF2I = 2c，其中 a, c 为常数且 a0, c0. 当2aIF；FJ时,P点不存在.2. 双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2 y2_1 a2 b2(a0, b0)范-養-1(a0, b0)图形性质范围x2a 或xWa, yRyWa 或 y三a, xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a, 0), A2(a, 0)A1(0,a),
2、A2(0, a)渐近线b y = 一 x 丿aay-bx离心率ce=, eW(l,+s) a实虚轴线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长IAA2I = 2a ；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长IB1B2I-2b； a叫做双曲线的半实 轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2-a2+b2(ca0, cb0)3.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2y2=A(A0).(2)等轴双曲线o离心率e=V2o两条渐近线y=x相互垂直.导师提醒关注双曲线的几个常用结论1 双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2 若P是双曲线右支上一点，F,
3、, F2分别为双曲线的左、右焦点，则PF i =a + c ,121 minPF = ca.2 min2b23 同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为么，异支的弦中a最短的为实轴，其长为 2a.4 设P , A , B是双曲线上的三个不同的点，其中A , B关于原点对称，直线PA , PBb2斜率存在且不为0 ,则直线PA与PB的斜率之积为：5 P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，行，F2分别为双曲线的左、右焦点， 则 S“PF、F2 = b2丄，其中 0为 ZF,PF2.12Q12tango判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)平面内到点F(0,4),F2(0,
4、 4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.() (2)椭圆的离心率e(0, 1),双曲线的离心率e(1,+).()x2 y2方程mn =1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于,2.()答案：(1)X (2)V (3)X (4)V(教材习题改编)双曲线2x2y2 = 8的实轴长是()A. 2B. 2远C. 4D. 4-总解析：选C.双曲线2x2-y2 = 8的标准方程为手-=1，故实轴长为4. (教材习题改编)双曲线方程X22y2=1,则它的右焦点坐标为(0B.,00D.审，0)解析：选C.因为原方程可化为f-y12=1 ,2所以a2二113,b2
5、 = 2，所以c2 = a2 + b2 = 2，所以右焦点坐标为若方程x22+my2m1=1表示双曲线,则m的取值范围是.解析：因为方程 一-二1表示双曲线，所以(2 + m)(m + 1)0，即m - 1或m1 或 m2设P是双曲线16-20 =1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若IPFI = 9, 则 pf2=.解析：由题意知IPF1I = 90 , b0)，由椭圆芍+号=1，得焦点为(1 ,0)，顶点为(2， 0)所以双曲线的顶点为(1， 0)，焦点为(2， 0)所以 a= 1， c= 2，所以 b2= c2- a2= 3，所以双曲线标准方程为x2 -号=1.答案：x2-3
6、 =1双曲线的定义(多维探究)00.角度一利用定义求轨迹方程已知圆C1： (x+3)2+y2=1和圆C2： (x3)2+y2=9,动圆M同时与圆C及圆因为IMAI = IMBI，所以IMC I - IAC I = IMC I - IBC I ,1 1 2 2即IMC2I - IMC1I = IBC2I - IAC1I = 2，所以点M到两定点C2的距离的差是常数且小于 IC C I = 6.12又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与C 的距离小 ） ，其中 a = 1 , c = 3，则 b2 = 8. 故点M的轨迹方程为x2- =1（x3)x2 y 2答案：
7、16=1(x3)3. (2019福建福州模拟)已知F是双曲线C： x2y8 =1的右焦点，P是C的左支上一点,A(0, 6、/6).当AAPF周长最小时，该三角形的面积为.解析：设双曲线的左焦点为F1 ,连接PF1.由双曲线方程x28 =1可知，a=l , c = 3 ,故 F （3， 0） ， F 1（ 3， 0） 当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知PFI - IPF1I = 2 ,所以IPFI 二 IPF1I + 2，从而 AAPF 的周长为 IAPI + IPFI + IAFI = IAPI + IPFJ + 2 + IAFI. 因为IAFI= 32+（ 6 6 ） 2 = 15
8、 为定值， 所以当IAPI + IPF I最小时， APF的周长最小.由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处（如图 示）由题意可知直线AF的方程为y = 2 6x + 6 6 ,y = 2/6x + 6V6 ,由x2 -=1 ,得 y2 + 6、拓y -96 = 0，解得 y = 2爲或 y =- 8“拓（舍去），所以 SAApF = SAF1F - SPFf = 1X6X6 - *6X2召=12屈.答案：12；6双曲线的标准方程（师生共研）例 （题多解）（1）与椭圆X2+y2=1共焦点且过点P（2, 1）的双曲线方程是（A X2-A才-y2=1f-f=1x2B. ：2-y2=1D. x2号=1（2）若双曲线的渐近线方程为y = 2x，且经过点（4,书），贝9双曲线的方程为【解析】（1）法一：椭圆 + y2=1的焦点坐标是（0 0） 设双曲线方程为育-盒=41x 21（a0 , b0），所以历-厉=1 , a2 + b2 = 3 ,解得a2 = 2 , b2=1，所以所求双曲线方程是亍- y2= 1.x2y24
