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1、(二十四)二年级（上）数学分析期末考试题一、 叙述题：（每小题5分，共15分）1 正交多项式 2 正项级数的比较判别法3 Rn上的基本列二、 计算题：（每小题7分，共35分）1、2、计算 的cauchy主值3、求的收敛半径和收敛域4、设，求函数的梯度5、求在（1，1，1）点的全微分三、 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1 讨论，（x，y）沿任何直线趋于（0，0）时的极限和函数的二重极限2 讨论的敛散性3 讨论函数项的一致收敛性。四、 证明题：（每小题10分，共20分）1 证明Riemann函数在0，1上可积2 设，证明它满足方程参考答案一、1、设是定义在上的多项式，若对任意的和，在上可
2、积，且有则称是上的正交多项式连续。2、设是两个正项级数，若存在常数，成立则（1）当收敛时，也收敛（2）当发散时，也发散3、如果上的点列满足：对于任意给定的，存在正整数对任意的，成立，则称为基本列。二、1、（7分）2、解：（7分）1、 ：，收敛半径为1/3（4分），由于时，级数收敛，级数发散，所以级数的收敛域为（3分）4、：=（4分）（3分）5、 （4分）（3分）三、1、解、由于沿趋于（0，0）时，而沿趋于（0，0）时极限为0，所以重极限不存在（5分）2、 函数非负递减，（3分）且，（5分） 由此仅，收敛（2分）。3、（3分），取，所以函数列不一致收敛（7分）四、证明题（每小题10分，共20分）
3、1 证明：由Riemann函数的性质，在0,1上使得的点至多只有有限个,(3分）不妨设是k个，记为作0,1的分点，使满足，由于，而在右边的第一个和式中，有且，在第二个和式中有且，因此得到，所以函数可积（7分）2 证明：，（6分）（4分）（二十五）一 年 级数学分析期末考试题一、 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数在上可积的必要条件是（ ）A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2、函数是奇函数，且在上可积，则（ ）A B C D 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ）A B C D 4、级数收敛是部分和有界的（ ）A 必要条
4、件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件5、下列说法正确的是（ ）A 和收敛，也收敛 B 和发散，发散C 收敛和发散，发散D 收敛和发散，发散6、在收敛于，且可导，则（ ） A B 可导C D 一致收敛，则必连续7、下列命题正确的是（ ）A 在绝对收敛必一致收敛B 在一致收敛必绝对收敛C 若，则在必绝对收敛D 在条件收敛必收敛8、的和函数为（ ）A B C D 9、函数的定义域是（ ）A B C D 10、函数在可导与可微的关系（ ）A 可导必可微 B 可导必不可微C 可微必可导 D 可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分）1、，求 2、计算 3、计算的和函数，并求4、设，求
5、5、计算三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）2、 讨论 在点的可导性、连续性和可微性3、 讨论的敛散性四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设，证明在上一致收敛2、设，证明它满足方程4、 设在连续，证明，并求参考答案一、1、B 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、B 10、C二、1、（3分）令，（3分）2、=（6分）3、解：令=，由于级数的收敛域（2分），=，=（2分），令，得4、解：两边对x求导,（3分）（3分）5、解：（5分）（1分）由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、，同理（4分），又但沿直线趋于（0，0）
6、，所以不存在，也即函数在（0，0）点不连续，（4分），因而函数在（0，0）点也不可微（2分）2、解：由于（3分），即级数绝对收敛条件收敛，级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为（2分），因为，（4分），取，当时，对一切成立，所以在上一致收敛（4分）2、，（7分）则（3分）a) 证明：令得证（7分）（3分） （二十六）一年级数学分析期末考试题一 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）2、 函数在 a,b 上可积的充要条件是（ ）A e0,$ s0和d0使得对任一分法D，当l（D）d时，对应于wie的
7、那些区间Dxi长度之和Dxi0,s0, d0使得对某一分法D，当l（D）d时，对应于wie的那些区间Dxi长度之和Dxi0,$d0使得对任一分法D，当l（D）d时，对应于wie的那些区间Dxi长度之和Dxi0, s0，$ d0使得对任一分法D，当l（D）d时，对应于wie的那些区间Dxi长度之和Dxi0,$ N（e）0，使mn N有B e0, N0，使mn N有C $e0, N（e）0，使mn N有D e0,$ N（e）0，使$mn N有8、的收敛域为（ ）A (-1，1) B (0，2 C 0，2） D -1，1）9、重极限存在是累次极限存在的（ ）A 充分条件 B 必要条件 C充分必要条件
8、 D 无关条件10、（ ）A B C D 二 计算题：（每小题6分，共30分）1、2、计算由曲线和围成的面积3、求的幂级数展开4、 已知可微，求5、 求在（0，0）的累次极限三、判断题（每小题10分，共20分）3、 讨论的敛散性4、 判断的绝对和条件收敛性四、证明题（每小题10分，共30分）1、设是上的奇函数，证明2、证明级数满足方程 5、 证明为闭集的充分必要条件是是开集。参考答案一、1、D 2、B 3、D 4、B 5、C 6、D 7、A 8、C 9、D 10、B二、1、解：=（2分）由于为奇函数=0（2分）=（2分）所以积分值为（1分）2、解：两曲线的交点为（1，2）（2分）所求的面积为：
9、1/222+（4分）3、解：由于（3分），（3分）4、解：=（3分）（3分）5、解：，（3分）（3分）三、1、解：由于（6分），又收敛（2分）所以原级数收敛（2分）2、解：当时，有，所以级数绝对收敛（4分），当时，原级数发散（2分）当时，有，由上讨论知级数绝对收敛（4分）四、证明题（每小题10分，共30分）1、证明：（1）（4分）（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、证明：所给级数的收敛域为，在收敛域内逐项微分之，得（8分）代入得证（2分）3、证明：必要性 若S为闭集，由于S的一切聚点都属于S，因为，对于任意的。x不是S的聚点，也就是说，存在x的邻域使得，即，因此Sc是开集。充分性 对任意的，由于Sc是开集，因此存在x的邻域使得， 即x不是S的聚点。所以如果S有聚点，它就一定属于S.量，求证：
