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2、，总存在正数m，当nm且nN时，恒有|un-A|m且nN时，恒有|un-A|f(a)且f(c)=m，则c(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在(a,b)，使证明 令F(x)=f(x)-,则F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)使=0，即15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意xI,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意xI,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴
3、生不等式：设1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函数，则x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、方法与例题1极限的求法。例1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）=；（2）当a1时，当0a1时， 当a=1时，（3）因为而所以（4）例2 求下列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|0且)。解 （1）3cos(3x+1).(2)（3）（4）（5）5用导数讨论函数的单调性。例6 设a0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。解 ，因为x0,a0，所以x
4、2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+1时，对所有x0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增；（2）当a=1时，对x1,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+)内递增；（3）当0a0，解得x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+)内也单调递增，而当2-a-x2-a+时，x2+(2a-4)x+a22x.证明 设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0cosxf(0)=0，
5、即sinx+tanx2x.7.利用导数讨论极值。例8 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。解 因为f(x)在(0,+)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x(0,1)时，所以f(x)在(0,1上递减；当x(1,2)时，所以f(x)在1，2上递增；当x(2,+)时，所以f(x)在2，+）上递减。综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。例9 设x0,y0,1，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)
6、sin(1-y)x的最小值。解 首先，当x0,y0,1时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,当时，因为cosx0,tanxx，所以；当时，因为cosx0,tanx0，所以；又因为g(x)在(0,)上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0(1-y)xxg(x)，即，又因为，所以当x(0,),y(0,1)时，f(x,y)0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f(x,y)取最小值0。三、基础训练题1=_.2已知，则a-b=_.3_.4_.5计算_.6若f(x)是定义在(-,+)上的
