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1、东北农业大学网络教育学院高等数学作业题（2014更新版）高等数学作业题参考答案（2014更新版）、单项选择题1. D2. B3. B4. A 5. B6. B7. A8. B9. B 10. C11.B12.B13.B14.B 15.C16.B17.D18.B19.B 20.A21. B22. C 23. D24. A 25. C二、填空题12,11,2.2 . x 33 .可导4 .下5.母线为Z轴,4为准线的圆柱面6 .无限增大(或 )7 ( 1,0). (0,). .8 .x,y x y x29 . e三、计算题13x13x1.解:lxm02.解:dy 2xln2dx2xd yxs x2
2、一T2 (ln 2)dxy (1) 06 2a 0因为函数有拐点(1， 1),所以y(1)1,即1abe 1因为在X 。处有极大值1,所以y () ,即b 0,带入上式得4.解:e xdx0 x2exd(.X)2e X|0z 23 z 33x y y , x5. xy23xy6.11 y20dy 1 y2 f(x，y)dx7 .解：分离变量得tanydy cot xdxtan ydy cot xdx两边积分得 y y 从而 y arccos(Csin x)2.x6x8 x2lim 2 lim8 .解：x 1 x5x4x 1 x19.解:dy(5；x 5ln5)dxy10.解：55x - x -
3、 1,1y不存在的点为4 ,但 4y( 1) 3, y(1) 1所以最大值是y( 1) 3,最小值是y111.解:02e xd( x) 2e x |022y 3xz 2z3x 3y 12. xy13.1 x0 dx d f(x, y)dydy14.解：分离变量得 yln ydxsin x ,两边积分得dyyln ydxsin xdy两边积分得ylnydxsinx,从而原方程的特解为y, x tan_e 21x0x2015 .解：2x1x2 x1 1/xlim 42 lim z-16 .解 x x 3x 1 x x 3 1/x01 cosx dy dx亿解： 1 sinxsin x cosx 1
4、 ,2 dx(1 sin x)4x3 y 7 18.解：x1,令y0,求得驻点为x 0y(0) 0, y( 1) ln2,y(2)ln17所以最大值是y(2) ln17 ,最小值是y(0) 0e加 0 下一dx2e d( - x) 2e, |0219.解： x 0Z-23 Z 3c 23x y y , x 3xy20. xy21.1 x0dx x2 f(x, y)dy两边积分得tan ydycot xdx从而yarccos(C sin x)lim23.解:31x 1lim24.解:dy3x2x-dx 225.定义域为(0,4x4x20,x12 ,x3x 1(舍去)lim1 x6 2 1e 6(
5、0,2)，y0, f (x)为单调减函数(2),y0, f (x)为单调增函数26.dz27.28.29.30.31.(4x4x3y 3x 2y y3y)dx ( 3x 2y)dy1dx0xx2 f(x, y)dy解：该方程的特征方程为解得.3.i2故原方程的通解为3-xe2解:解:93(C1 cos x2dydx定义域为C2,n 3sin x)2tan3x2xx2 ln 223x lim x 0 2x2xd2y dx2x22 (ln 2)(,0), y 0,f(x)为单调减函数(0,2), y 0,f (x)为单调增函数(2，)，y 0，f(x)为单调减函数2e x|02z 2z3x 3y
6、33. Xy2y 3x34.解：该方程的特征方程为440,解得 12 ,22。故原方程的通解为y e2x(C1 C2x)四、求解题dyd(t arctant)t2二1.解：dxd(ln(1 t )212cy y dx xdx - x C13.解：21 21 3y y dx ( x C1 )dx xC1x C22 64.解:f x lim x 0lim -x 01lim x 0 x x xdyd(t arctant)t2二5.解：dxd(ln(1 t )2236.解：函数y 3xx的定义域是，cc 2y 6x 3x 3x(x 2),令 y0,求得驻点为 x 0, x 2x (,0),y0,函数单
7、调递减x (0,2), y 0,函数单调递增x (2,),y0,函数单调递减8.解：设(x0,y0)为曲线上的一点，函数过该点处的切线方程为y y0f (x0)(x xo)x0该切线与x轴的交点为yo1 ,yo-(Xo ) Xof (Xo)f (Xo),由题意2 f (Xo),简化得y。Xo(Xo,yo)的选取是任意的,r yJf (x) y C 所求曲线满足x ,解得 x6又y(2) 3, y xo9.解：因为y 2x,所以y(2) 11 12( 1 )抛物线y x在点2 4处的法线方程为11y - ( 1)(x -)y42，即求得抛物线与其法线的交点为(3 9) (11)2,4, 2,4S
8、123( x224x )dx 3图形面积10.解：由题意y xy(0) 1。dy方程y x y对应的齐次方程为 dxy,分离变量得dyydx,解得yCe x o设原方程的解为y h(x)e x,代入原方程得dx(h(x)ex)解得y/ x xxx(xe e C)e x 1 Ce 。又 y(0)1得C 2,从而原方程的解为yx 1 2e11.解:y dx xdxC1y y dx1 2 一(xC1 )dx2C1xC2由题意y(0)11, 0) 2，代入解得Ci12 C2五、应用题1.解：设池底半径为 x米，总造价为Y元a 2502 r22 r)/ 2250、a(r 7，r 02.解:2根据题意可知
9、，容积V x（2a 2x）(0,a)(x)(2 a 6x)(2a 2x),令 V(x) 0,求得驻点为a （舍去）3是开区间内唯一驻点，由实际问题可知容积有最大值，所以在边长容积最大。3.解：设圆锥体积为 V ,圆形铁片半径为 R,则r圆锥底面半径h R2 r2R2V所以圆锥体积r2h3 2 -R4 24 2(0,24.解：设矩形的长为x,则宽为xl 2(x s)周长x , l 2（1 今）(- s)x ，令l 0,求得驻点为x Ts ,开区间内唯一驻点取得最小值，所以其周长最小者是长和宽都为77 7722x x h 72 , h 22x4x2216“ 2c7272s4x2x亍2x 252x22x2-216s 8x 0, s(x) 0, x 3, s(3) x所以x=3时取最小值，各边长分别为3, 46.解：设宽为x米，则长为(20 2x)米，_ _2 _面积 S(x) x(20 2x)2x20x x (0,10)S(x) 4x 20-S(x) 0,驻点为 x 5S4 0,开区间内唯一驻点取得最大值，此时小屋的长为10米，宽为5米。11131y (0)C1y x x 1由题意y(0) 1 ,2 ,代入解得2 , C2 1 ,即 62
