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1、A可逆r (A) = nA的列(行)向量线性无关A的特征值全不为0Ax = o只有零解 o Vx ho. Ax hoVP eRn,Ax =0总有唯一解Ata是正定矩阵A仝EA = p pp p是初等阵1 2 s i存在n阶矩阵B,使得AB = E或AB = Eno n注：全体 维实向量构成的集合n叫做维向量空间.r(A) no ov A勺列(行)向量线性相关0是啲特征值Ax=o有非零，其基础解系即为说=0的特征向量A不可逆r(A) na = 0 o A的列(行)向量线性相关0是A的特征值Ax = o有非零解，其基础解系即为A关于九=0的特征向量V行列式的计算:范德蒙德行列式：11 1xxx x
2、 )1x 22 .x 2nx 2m= n(,11 j i nijxn1xn1xn112n矩阵的定义|m V n由个数 排成 的n列的表A=aaa11121naa a21222 n.a m1am 2a丿mn称为m X n矩阵记作：A =(a )ijmXnAmVn伴随矩阵A* =(A=ij (E A-1)、af111faa=12aka丿3k1a丿V矩阵方程的解法(IaIh0):设法化成(I)AX = B或 (II)XA = B(I)的解法：构造(AB)初等行变换(EX)(II)的解法：将等式两边转置化为LtXt = Bt, 用(I)的方法求出XT,再转置得X1 零向量是任何向量的线性组合,零向量与
3、任何同维实向量正交.2 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.3 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. (向量个数变动)4原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.(向量维数变动)5两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关a a aa (1 in)6向量组 2，n中任一向量 C W W丿都是此向量组的线性组合.a a an 17向量组r 2n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.向量组 f 2n线性无关 向量组中每一个向量)都不能由其余n 1个向量线性表示.8加维列向量组ai，a2,n线性相关 r(A) A,B作为向量组等价，即
4、：秩相等的向量组不一定等价.矩 阵 A 与 B 作 为 向 量 组 等 价 r(a ,a ,a ) = r(P ,P，,P ) = r(aa2a ,即卩昇,P )12n12n 12n矩阵A与B等价./ 、向量组P , P ,., P可由向量组a1a J，a线性表示AX = B有解 r(a ,a ,a )= r(a ,a ,a , B ,卩,卩)=12/12n 12sr此叮，Ps) W r(a1,a2,an )向量组卩，卩，卩 可由向量组a , a ,a线性表示，且S n ，则12s12n卩，卩，卩线性相关.12s向量组P , P ,P线性无关,且可由a ,a ,a线性表示，则 W .12s12
5、n向量组P ,P ,P可由向量组a,a ,，a 线性表示，且 s12r (卩，卩昇,卩)=丫 (a1, a昇,a )，则两向量组等价;12s12任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.设A是m X n矩阵，若r(A) = m, A的行向量线性无关；若r(A) = n , A的列向量线性无关，即：a a . a线性无关.12? nV矩阵的秩的性质:若A B 若(AB) = 0/ r(A) + r(B) n若mxn , nxs若 ) =B的列向量全部是Ax =
6、0的解 r(AB) W min r(A), r(B)若A可逆n r(AB) = r(B)即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.若B可逆 n r(AB) = r(A)若r (A) = n mxno Ax = 只有零解r(AB) = r(B)A在矩阵乘法中有左消去律ABU：若(= r(AB) = r(B)r ( nxs ) = nB在矩阵乘法中有右消去律. r(A 土 B产 r( A) + r(B)max r(A), r(B)壬 r(A,B) r(A) + r(B)(OA )r ( AC)=1 BOl = r (A) + r (B)r 10B丿主 r(A) + r(B) ( A Or I O BV初等矩阵的
7、性质:v若耳*是Ax = P的一个解，勺，W，,W是Ax = 的一个解,E，,E ,n*1S1s线性无关Ax = 与Bx = o同解(A,B列向量个数相同)，则:它们的极大无关组相对应,从而秩相等;它们对应的部分组有一样的线性相关性;它们有相同的内在线性关系.两个齐次线性线性方程组Ax = 与Bx = 同解口 r=r (A) = r (B) 两个非齐次线性方程组Ax = B与Bx = 丫都有解，并且同解=r(A) = r(B) V矩阵A 与mxnB的行向量组等价齐次方程组A与Bx=同解l xn(左乘可逆矩阵P人矩阵Amxn与B/Xn的列向量组等价 O AQ = B (右乘可逆矩阵Q ).Ie
8、(i, j) = -1bi(k) = klEi, j (k ) = 1E (i, j )T= E (i, j)Ei (k )T = Ei (k)Ei, j (k )t = Ej, i (k)E(i, j)-1 = E(i, j)Ei (k )-1 = Ei Ei, /(k)-1 = Ei, /(-k)E (i, j )*= - E (i, j )kEi (k )* = kEi GEi, j (k )*= Ei, j(-k)k一 一一一关于公共解的三中处理办法:把与(II)联立起来求解;通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解;P可由c,a, ,a 线性表oAx=P有解o(A)=r(A P)1
9、 2 oAx= P有无穷多解伪方阵时JA =0 n o表示法不唯一na,a, ,a线性相oAx=0有非零解 oAx= P有唯一组解伪方阵时J A=nH0n克莱姆法则o 表示法唯一na,a, ,a线性无关Ax=只有零解12n卩不可由,a,12or(A)主 r(A P),a 线性表 OAx=P无解or(A) r(A P)or(A)+1=r(A P)当与(ID都是齐次线性方程组时，设n1,n2,n3是(I)的基础解系， n 4,n5是(ID的基础解系，则 与(ID有公共解 o 基础解系个数少 的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示即: r(n ,n ,n ) = r(n ,n ,n :c n +
10、c n )1 2 31 2 3 1 c42 5当与(II)都是非齐次线性方程组时，设W1 + C1n1 + C2n2是的 通解，W2 + c3n3是(id的通解，两方程组有公共解 o W + cn -W23 31可由n1 ,n2 线性表示.即：r(n ,n ) = r(n ,n :W + cn -W)121223 31设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任教材2讲义7Ax = P有无穷多解二其导出组有非零解Ax =P有唯一解！二!其导出组只有零解若 r (A) = n 若 r (A) = n 一 1 若 r (A) 齐次方程组意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。标准正交基n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1向 量a = (a ,a，,a )T与 P = (b ,b，,b )T的 内 积r2n(a,P)=另 ab = ab + a b + + a bi i1 12 2n ni=1仃与卩正交 (a，卩)=0 记为：a丄P向量a=(a,a12b 的长度 | = (a,a)=工a 2 = ha 2 + a 2 + + a 2 i12ni=1a是单位向量IU=(0,0)=i.即长度为1的向量.(7)Y 是Ax = P的解,n是其导出
