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1、-CAL-（经典）最全余的10种证明理#(经典)最全余弦定理的10种证明方法王彦文青铜峡一中一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍，即在AABC中，已知AB = c,BC = a,CA = b,则有a2 =b2 +c2 - IbccosA,b2 =c2 +a2 -2ca cosB,c2 =a2 +b2 - lab cos C 二、定理证明为了叙述的方便与统一，我们证明以下问题即可：在 AABC中，已知 AB = c,AC = h,及角 A，求证:a2 =h2+c2-2bccosA.图1证法一:如图b在AA3C中川1乙 =而-疋可得:丽
2、丽=(AB-AC)(AB-AC)= AB2+AC2-2AB 走=b2 +c2 -2Z?ccos A即=b2 +c2 -2bccosA.证法二:本方法要注意对ZA进行讨论.当 ZA 是直角时，由 b2 +c2-2Jx cosA = b2 +c2-2lx cos90Q = b2 +c2 =a2 知结论成立.当ZA是锐角时，如图2丄过点C作CD丄于点0则在 RtACD 中AD = Z?cos A, CD = /?sin A 从而,BD = AB AD = cbcos A 图21在RtBCD中，山勾股定理可得：BC2 = BD2 + CD1= (c-Z?cos A)2 +(bsin A)=c2 一 2
3、cb cos A + b2即 & =b2 +c2 2bccosA.说明:图2-1中只对ZB是锐角时符合，而Z3还可以是直角或钝角.若Z3是直角，图中的点D 就与点3重合；若Z3是钝角，图中的点D就在A3的延长线上.(3)当ZA是钝角时，如图2-2,过点C作CD丄初，交BA延长线于点D,则在 RtACD 中，AD = bcos(/r-A) = -Z?cos A/CD = Z?sin(/r-A) = bsin A 从而,BD = AB + AD = cbcos A 在RtABCD中，由勾股定理可得：BC2 = BD2 + CD1= (c-Z?cos A)2 +(/?sin A)2=c2 一 2cb
4、 cos A + b2即=b2 +c2 -2bccosA 综 (1),(2), (3)可知，均有 a2 =b2+c2- 2bccos A 成立.证法三:过点A作如？丄BC,交BC于点D,则 在 RtAABD 中/ sin a =三2 z cos a =在 RfSACD 中,sin/? = zcos/7 = bbil l cos A = cos(z + /7) = cosacos/7-sinasin 0 可得:图3AD AD BD CD ADBD CDcos A c b chbe2AD2BD CD _ c2 -BD2 +b-CD?-2BD CD b2+c2-(BD + CD)2 _b2+c2-a
5、222-整理可得 a2 =lr +c2 2/?ccosA.证法四:在AABC中，由正弦定理可得 =- sin A sin B sinC sin(A + B)从而有 sin A = tisin Bc sin A = a sin(A + 3) = a sin A cos B + a cos A sin B 将带入整理可得a cos B = c-b cos A.将*平方相加可得= (c-hcosA)2 +(/?sin A)2 =h2 +c2 -2bccosA .即=b2 +c2 - 2bccosA.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则山题意可得点A(0,0), B(c,0), C(b cos A
6、.bsin A),再由两点间距离公式可得a2 = (c-bcosA)2 +(Z?sin A)2 =c2 2cbcosA+b2.即 4, =b2 +c2 2bccosA.证法六:在AABC中,山正弦定理可得a = 2RsinA,b = 2RsinB,c = 2RsinC.于是& = 4R2 Sin2 a = 4R2 sin2(B + C)= 4R2(sin2 Seos C + cos2 Bsin2 C + 2sin Bsin Ccos BcosC)= 47?2(sin2 B + sin2 C-2sin2 Bsin2 C + 2sin BsinCcosBcosC) = 4/?2(sin2 B +
7、sin2 C + 2sin Bsin Ccos(B + C)= 4/?2(sin2 B + sin2 C-2sin BsinCcos A)=(2/?sin+(2/?sinC)2 一2(2/?sin B)(2Rsin B)cos A =b2 +c2 - 2Z?ccos A即，结论成立.证法七:在AABC中川1正弓玄定理可得a = 2R sin A, b = 2R sin B ,c = 2RsinC.于是=b2 +c2 -2bccosAo 4R2 sin2 A = 4/?2 sin2B + 4/?2 sin2 C 一SR2 sin B sin C cos A 2sin2 A = 2sin2 B +
8、 2sin2 C -4sin Bsin Ccos A 2sirr A = 2 -cos 2B + cos 2C - 4sin B sin C cos Ao 2 -2cos2 A = 2 一 2cos(B + C)cos(B - C) - 4sin 3sin Ccos Aill 于 cos(B + C) = cos(龙 一 A) = - cos 4,因此o cos2 A = cos(B + C)cos(B 一 C) + 2sin Bsin Ccos Aocos A = -cos(B-C) + 2sin BsinC cos A = -cos Bcos C + sin Bsin C = -cos(B
9、 + C)这，显然成立.即，结论成立.证法八:如图5,以点C为圆心，以CA = b为半径作OC,M线BC与OC交于点DE涎长A3交G)C于F,延长AC交G)C于G 则山作图过程知AF = cos A, 故 BF = 2Z?cos Ac 山相交弦定理可得：BABF = BDBE, 即/c(2Z?cos Ac) = (b+a)-(b-a), 整理可得:a2 =b2 +c2 2bc cos A 证法九:如图过C作CD AB,交AA3C的外接圆于0则AD = BC = a, BD = AC = b.分 别过C,D作A3的垂线，垂足分别为E厂则AE = BF= bcos A, CD = c- 2/? cos A山托勒密定理可得ADBC = ABCD+ACBD/即4 a = c (c 2b cos A) + b-b.整理可得:=b + c2 2bc cos A.证法十:由图 7-1 和图 7-2 可得 R = c-b cos A)2 +(Z?sin A)2,整理可得:ci2 =b2 +c2 2bc cos A.bcosA Dc-bcosA图I图7-2余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、 可以利用图形面积证明等感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.
