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1、例谈三角函数最值的求解策略三角函数的最值是三角函数中最基本的内容，是对三角函数的概念、图像和性质，以及对诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的三角函数公式的综合考查。是函数的内容的交汇点，也是函数思想的具体体现，在实际中有广泛的应用。因此，历年高考中占有很重要的地位，也是高考命题的热点。对这类问题只要我们找到恰当的方法，就可以简捷地求解。下面举例介绍几种三角函数最值的常用求解策略。一、化为一个角的三角函数例1 当时，求函数的最大值和最小值。解 所以函数的最大值为，最小值为。例2 求函数的最大值。解 其中，函数的最大值为。例3 求函数的最大值。解 其中，函数的最大值为，最小值为。例4 求
2、函数的最小值。解 上式可化为，则有且当时，这时，即时，函数y取得最小值为。反思总结 将函数表达式化为只含有一个三角函数的式子，是求解三角函数最值最常用的一种变形策略。在上述类型中，最关键的一步是利用公式（其中）来进行变形，然后利用正弦函数的有界性来确定三角函数的最值，特别需要注意的是，不能忽略函数的定义域。二、化为多项式函数例5 求函数的最值。解 当时，即时，函数y取得最小值0；当时，即时，函数y取得最大值为3.例5 若，求函数的最值。解 令，则，当时，即时，函数y取得最小值当时，即时，函数y取得最大值例7 已知，求函数的最大值。解 令，则令，即，又，即所以函数的单调增区间为，的单调减区间为。
3、所以当时，即时，函数取得最大值。反思总结 若函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数，然后利用函数单调性求解三角函数的最值。特别的是对于表达式中同时含有，的函数，应考虑到，可利用换元法变为多项式函数再对其求解。三、 化为分式函数例8 求函数的最值。解 令，则，即。所以函数的最大值为，最小值为。例9 在区间的最小值。解 ，则，又在区间上是减函数，所以当时，即时，函数取得最小值8。例10 求函数在区间上的最大值。解 令，则，即，当时，即，时，函数取得最大值。反思总结 若函数表达式可化为形如，（其中为三角函数），则可利用不等式性质和函数单调性来求其最值。四、化为直线
4、的斜率例11 求函数的最值。解 设，则，即为过A、P两点的斜率。所以要求函数的最大值，只要求直线PA的斜率的最大值即可。，在单位圆上。因为直线PA的方程为：，即，由图一观察可知，直线PA与单位圆相切时，斜率取得最值。由，解得，的最大值为，最小值为。例12 求函数在区间上的最小值。解 设，则，即y为过P、A的斜率。所以要求函数y的最小值，只要求直线PA的斜率的最小值即可。因为是抛物线上的动点。由图二观察可知，当点P落在坐标原点时，斜率为最小值，即函数的最小值为。反思总结 若函数表达式可化为形如（其中为含有三角函数的式子）则可通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用其几何意义来确定三角函数的最值。 综上所述，三角函数是一种特殊的函数，用三角函数的特征加上函数的思想就是求解三角函数最值的常用策略。求三角函数的最值，要仔细观察函数的特征，联系已有的函数知识，把陌生的问题转化为熟悉的问题。求三角函数的最值，要特别注意角的范围，要善于总结，勤于反思（如例4也可以化为分式函数及构造斜率来解，例3也可以化为一个角的三角函数构造斜率来解等）。这样，就可以提高我们分析问题和解决问题的能力，就可以跳出题海，达到举一反三、触类旁通的目的。6
