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1、本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算， 拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为 0，本讲力求实现的一个主要目标是提高 孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。 无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。知识点拨一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。通常偶数 可以用2k （k为整数）表示，奇数则可以用2k+l （k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0
2、是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质 l ：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数性质 2 ：偶数奇数=奇数性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。 推论2：对于任意2个整数a,b，有a+b与a-b同奇或同偶例题精讲模块一、奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例1】1 + 2 + 3 +1993的和是奇数还是偶数？【解析】在1 至1993中，共有1993个连续自然数，其中 997个奇数， 996个偶数，即共有奇数个奇数 那么原式的
3、计算结果为奇数【巩固】1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + + 99 +100 + 99 + 98 + 97 + 96 + + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1 的和是奇数还是 偶数？为什么？【解析】在算式中，199都出现了 2次，所以1 + 2 + 3 + 4 + 99 + 99 + 98 + 97 + 96 + 4 + 3 + 2 +1是偶 数，而 100 也是偶数，所以 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + + 99 +100 + 99 + 98 + 97 + 96 + + 7 + 6 +5 + 4 + 3 + 2 +1的和是偶数.【例
4、2】1 + 2 x 3 + 4 x 5 + 6 x 7 + 98 x 99的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【解析】特殊数字：“1 ”.在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数x偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的 结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数+ 偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数.【例3】能否在下式的“”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由(1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9=10(2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9=27【解析】不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5 个 奇数，无论经加、减运
5、算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量 计算的题目”2)可以。1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 - 9 = 27 或1 - 2 - 3 - 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 27【例 4】 能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.【解析】不能。因为不论如何选，选出的 5个数均为奇数， 5 个奇数的和还是奇数，不可能等于22。【巩固】 能否从、四个6，三个10，两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.【解析】从性质上看，选出 5个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以成立，那么可 以把
6、题目中的数都除以 2.那么本题相当于：能否从、四个3，三个5，两个7中选出 5个数，使 这 5个数的和等于22.因为3， 5， 7都是奇数，而且5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22， 所以不能.【例 5】 一个自然数数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？ 【解析】由定义知道，相邻两个奇数相差2，那么说明150是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为75【巩固】 一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？【解析】由定义知道，相邻两个偶数相差2，那么80恰好是原偶数的 4倍，即原来的偶数是20。而由题 意知道原来的三个
7、偶数分别18,20,22，它们的和是60。模块二、奇偶模型与应用题例 6】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999如果找得出 来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由【解析】因为两个数的和a + b与两个数的差a-b的奇偶性相同，所以(a + b) + (a-b)的和是偶数由结 论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加 1000 还是偶数，所以它们的和不能等于 奇数 1999.【例7】你能不能将自然数1到9分别填入3X3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数 解析】不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题，其实不是。1到9中共有5个奇数，分
8、别分成3组后 会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个奇数，从而 需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有5个奇数，所以无法填入。巩固】你能不能将整数数0到8分别填入3 X 3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数？ 解析】不能。分析过程与例8 类似。例 8】 任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于 999？解析】不能。2 个三位数的和为 999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明两个 三 位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结 论。那么 999 的数字之和是
9、27，而原来的 2 个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以a记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为a,则会有2a=27的矛盾式子出现。说 明原式不成立。例 9】 有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个 数之和的各位数字，那么在这一串数中，会依次出现1、9、8、8 这四个数吗？ 解析】不会。观察前 4个数，奇偶性排列次序为奇奇偶奇，而一个数的奇偶性仅与它的个位数字有关，所以之后的第 5个数为奇数，第6 个为偶数，第7 个为奇数，第8 个为奇数，整体的出现规律为 奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶，所以不肯能有两个连续的偶数，所以1、9、8、8
10、不会出现。【巩固】数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，的排列规律是前两个数是1,从第三个数开 始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前2009 个数 中共有几个偶数？解析】三个一组三个一组看，可以发现奇数，偶数交替变化的规律可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇 奇偶这样的变化规律，因为2009一3 = 6692，所以前2009个数有669个偶数.例 10】沿着河岸长着 8 丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个问：8 丛植物上能否一共 结有 225 个浆果?说明理由解析】 不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数
11、目差1 个意味 着相邻2 个植物的奇偶性不同，所以一定有4 棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为 225.例 11】在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好主人很高兴，笑着说“：不论 你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个”请你想一想，主人为什么这么说， 他有什么理由呢？【解析】握偶数次手的人：不管奇数个人还是偶数个人总次数=偶数次x人数=偶数 握奇数次手的总次数=握手总次数-偶数次握手总次数，即偶-偶=偶，而偶=奇数次x人数 n人数为偶数，由此证明.例 12】桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的5只杯子，问能否经过若干次翻动，使得 全部杯子的开
12、口全都向下？【解析】杯子要翻过来得翻奇数次，6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动（6x奇数=）偶数次杯子；按规 定每次同时翻动5只杯子，因为5是奇数，由奇数x偶数=偶数可知，要想翻动总次数也是偶数， 需要将5只杯子翻动偶数次因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下.例 13】在 8 个房间中，有 7 个房间开着灯， 1 个房间关着灯如果每次拨动4 个不同房间的开关，能 不能把全部房间的灯都关上？为什么？解析】按要求每次拨动4个不同房间的开关，而4是偶数，所以，这样的一次操作，拨动房间开关次数 是偶数.那么经过有限次拨动后，拨动各房间开关次数总和是偶数.可是，要使7个房间的灯由开变为关
13、，需要拨动各个房间开关奇数次；第8 个房间的开关仍为关，需要这个房间拨动开关偶 数次这样，需要拨动开关的总次数是奇数个奇数与一个偶数的和，是奇数所以按照要求不能 把全部房间的灯关上例 14】四个人一道去郊游，他们年龄的和是97岁，最小的一人只有 10岁，他与年龄最大的人的岁数 和比另外两人岁数的和大7岁.问： 年龄最大的人是多少岁？另外两人的岁数的奇偶性 相同吗？解析】先将四个人的岁数暂时分为两组进行分析，如果将97 岁减去 7岁，则两组人的岁数和相等（可 以按照和差问题求出大小数），然后再求出年龄最大的人的岁数，再说明另外两人的岁数的奇偶 性 另外两人的岁数和是：（97-7）一2 = 45
14、（岁）年龄最大的人的岁数：45 + 7-10 = 42 （岁） 因为另外两人的年龄和是45岁，是一个奇数，那么他们中一个的岁数是奇数，另一个人的岁 数 是偶数，也就是他们的岁数的奇偶性不同 * * * * * * * *【例15】多米诺骨牌是由塑料制成的1X2长方形，共28张，每张牌上的两个1X1正方形中刻有“点” 点的个数分别为0， 1， 2， 6个不等，其中7张牌两端的点数一样，即两个0，两个1， 两个6；其余21张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如： 现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6 点，那么在链的另一端为多 少点?并简述你的理由.解析】由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而6 点的个数为8， 所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为 6【例16】在“ 8x8 ”的方格中放棋子，每格至多放枚棋子.若要求8行、8列、30条斜线（如图所示） 上的棋子数均为偶数那么“ 8 x 8”的方格中最多可以放多少枚棋子？/八、7、
