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1、5.2 向量空间的定义和基本性质授课题目：5.2 线性空间的定义和基本性质 教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质 授课时数：3 学时教学重点：线性空间的定义及基本性质 教学难点：性质及有关结论的证明 教学过程：一、线性空间的定义1. 引例定义产生的背景例子.设a, p,y e Fn,a,b e F则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.个非空集合,其中的元素称为向量。记作(1) a + p = p +a(3)3零向量0 对Va有0 + a 二a(5) a (a + p) = aa + aP(7) (ab)a = a(ba)这里a, p,y e Fn,a,b e F2. 向量空间的定
2、义抽象出的数学本质Def: 设 V 是(2) (a + p) +y 二a + (p +y)(4)对 Va, 有a使a + ( a) = 0(6) (a + b)a = aa + ba(8)1 a =aa,卩,y，；f是一个数域a,b,ce F，如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了 Fx V到V的一个叫做纯量乘法的代数运算.(F中元素a与V中a的乘积记作aa,aa e V )。如果加法和 纯量乘法满足：1) a + p = p +a2) (a + p) +y 二a + (卩 +y)3) 30eV,对VaeV，有0+a=a (找出0元)4) Vae V, 3 a e V使得a +
3、a =0称a 为a的负向量(找出负元)5) a(a + p ) = aa + ap6) (a + b)a = aa + ba7) (ab)a = a(ba)8) 1 -aV是F上的一个线性空间，并称F为基数域.3. 进一步的例子加深定义的理解例1：复数域C对复数的加法和实数与复数的乘法作成实数域R上的线性空间. 例2：任意数域F可看作它自身的线性空间.例3 V = a 其加法定义为a+a=a ,数乘定义为aa=a,则V是数域F上的线性空间.注:V=0对普通加法和乘法是数域F上的线性空间，称为零空间.例 4 ： 设 F 是 有 理 数 域 ， V 是 正 实 数 集 合 ， 规 定 a B =a
4、P, a a =a a (a, P e V, a e F)练习集合V对规定的，口是否作成数域F上的线性空间？V = Fn,(a , a , a )(b ,b ,b )12n12n=(a + b , a + b , a + b ),11 22 n n a (a ,a ,a ) = (0,0,0)口 12 n解 显然V对，口满足条件1)7),但对任意的(a ,a , ,a )e Fn12 n有 1 (a, a , , a ) = (0,0, ,0)丰(a , a , , a ),U 12 n12 n故集合V对规定的不作成数域F上的线性空间. 由此例可以看出, 线性空间定义中的条件8)是独立的, 它
5、不能由其他条件推出.二、线性空间的简单性质1、线性空间 V 的加法和纯量乘法有以下基本性质.Th5.2.11) V 的零向量唯一， V 中每个向量的负向量是唯一的.2) (a ) = a证明：1)设0,0是V的两个零向量，则0二0 + 0 = 0 .1 2 1 1 2 2设a ,a是a的负向量，则有12a +a 二 0,a +a 二 0,12于是 a =a + 0 = a + (a +a ) = (a +a)+a = 0+a =a1 1 1 2 1 2 2 2*由于负向量的唯一性，以后我们把的a唯一负向量记作f .2) 因a + (a) = 0,所以(_a) = a.3) *我们规定：a卩=a
6、 + (卩),且有a + p=Yoa=Y卩.定理522对F的任意数a, b和V中任意向量U, B ,则有1) Oa = a 0 = 0.2) a(a) = (a)a = aa,特别地，(l)a = a.3) aa = 0 n a = 0或a = 0.4) a (a 卩)=aa a 卩,(a b)a = aa ba.证明：1)因为0a = (0 + 0)a = 0a + 0a.所以0a = 0.类似地可证a0 = 0.2)因为aa +a( a) = a (a+ (-a ) =a0 =0所以a (a)是a a的负向量，即a(a) = aa .同理可证 (a)a = aa.3) 设aa = 0,如果
7、 a丰0,贝9有a-1 g F,于是a = 1-a a = a)a ia=(aa ) = a 0 =0 .4) a (a P) = a (a + (卩)=aa + a (卩)=aa a 卩,(a b)a = (a + (b)a = aa + (b)a = aa ba.注:线性空间的定义中1 -a =a与定理5.2.2的性质3)在其他条件不变的情况下等价.事实上, 由线性空间的定义可推出定理5.2.2的性质3).反之，由线性空间定义中的条件1)7)及定理5.2.2的性质3)可推得1 -a=a1 - (1-a a) = 1-(1-a + (a)因为 =1 - (1-a) +1 - (a) = (1
8、-1)-a + (1) - a=1-a +(1)-a =0,由性质 3)1-a a =0 所, 以 1-a =a .课堂讨论题：检验以下集合对于指定的线性运算是否构成相应数域上的线性空间：1) 起点在原点，终点在一条直线上的空间向量的全体作成的集合V,按通常集合向量的加 法及数乘运算；2) V = (x ,x ,x ) lx + x + x = 1,x g F112n 1 12niV = (x ,x ,；x )lx + x + + x = 0,x g F212n 12ni按通常数域F上n维向量的加法及乘法运算；3) V = X|Tr(X) = 0, X g F nxn V3二数域F上n阶对称与
9、反对称方阵的全体按通常数域F上矩阵的加法及乘法运算；4) V = a x + a x3 + + ax2n+1 a e F5132 n+1iV = a + a x + ax? + a xn-1 la + a + a = 1, a e F6012n-101n-1i按通常数域F上多项式的加法及数乘运算；.5) 全体实数R的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成复数域C上线性空间？ 全体复数域C的集合按通常数的加法与乘法运算是否构成实数域R上线性空间？6) 数域F上的n阶方阵全体，按通常数与矩阵乘法，但加法定义为A B = AB- BA三、子空间1、子空间的定义定义2：子空间的定义：V是F上一个线性空间
10、，W是V的一个非空子集，如果W对V的 加法和Fx V到V的纯量乘法，也作成F上的一个线性空间，则称W是V的子空间。例5： F x是Fx的子空间.n例6： V是它本身的一个子空间.0也是V的子空间.V和零空间叫做V的平凡子空间，V的其他子空间叫做V的真子空间.2、子空间的判断：Th5.2.3设V是数域F上的线性空间,W是V的一个非空子集，则W是V的子空间 的充要条件：(1) va,卩 e V, 有a + p e V(2) Va e F,a e V有aa e W证明：(1) W对加法封闭，即对任意a, P e W,有a + p e W. W对纯量乘法封闭，即对任意a e F,a e W,有aa e
11、 W.证明：必要性.设W是V的子空间，则V的加法是W的代数运算，从而W对V的加法 封闭；另外，F x V到V的纯量乘法也是F x W到W的纯量乘法，因此W对纯量乘法 也封闭.充分性.由于W对V的加法封闭，对F x V到V的纯量乘法封闭，所以V的加法是W 的代数运算，F x V到V的纯量乘法也是F x W到V的纯量乘法的代数运算.线性空间 定义中的算律1), 2), 5), 6), 7), 8)对V中任意向量都成立，自然对W的向量也成立.由W 对纯量乘法的封闭性和定理5.2.2,对于a e W,0 = 0a e W ,所以V中的零向量属于W,它自然也是W的零向量，并且-a = (-1)a e W
12、 ,因此条件3)和条件4)也成立，故W是V 的子空间.推论1： W是V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件:Va, b e F, a,卩 w W 有 aa+ bP e W3、生成子空间例7：设a ,a ,a是数域F上的线性空间V的一组向量.1 2 nL(a ,a ,，a ) = a a + a a + + a a | a e F1 2 n 1 1 2 2 n n i则L（H，a 2,a n ）作为V的一个子空间.事实上，取a = 0(i = 1,2, n),于是八八 J八打、所以L(a ,a a )渤0 = 0a + 0a +0a e L(a a ,a ),12 n12n 12n又因(a
13、 a + a a + a a ) + (b a + b a + b a )1 12 2 n n 1 12 2 n n=(a+ b )a + (a+b)a+ (a+ b)a) e L(a,a a )a(aa + a a + a a )111222n n n12n1122n n=(aa )a + (aa )a + + (aa )a e L(a a a ),1122n n12n所以L（a，a a ）作成V的一个子空间.12nL（a a a）称为由a a a生成的12n12n子空间，a ,a a称为它的一组生成元. 1 2n4、子空间的交与并Th4: W ,W 是V的两个子空间，则W C W 仍是V的
14、子空间.（问W U W 是否为V 1 2 1 2 1 2的子空间.）证明：因为W ,W是V的两个子空间，所以0 e W ,0 e W 从而0 e W C W 于是1 2 1 2 1 2W c W 打.12对任意a, b e Fa，卩 e W c W 12有aa + bP e W aa + bP e W1 2,因而aa+ bP eW cW 12所以W1 C W2是V的子空间.推广若W1，W2 -Wn是V的子空间则A吓二匚n）也是V的子空间.例：A 是一个 n 阶矩阵，S (A) =BW M F|AB=BA则 S (A)是U F的一 nn个子空间.证：/ IA = AII g S (A)丰VB , B g S (A),于是AB = BA, AB = B A1 2 1 1 2 2又A(kB + IB )二 kAB + lAB1 2 1 2二 kB A + IB A12二(kB + IB ) A12 kB + IB g S(A)122.两个子
