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1、东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）期数 0511 SXG3 044学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟 审稿老师：杨志勇 同步教学信息预 习 篇预习篇三十一 高三理科数学总复习八 函数的值域（二）【典型例题解析】5不等式法这种方法主要利用均值不等式等方面的知识求出函数的最值，从而求出函数的值域，解题时一定要注意等号成立的条件.例5 求函数的值域.解：，（1）当x=0时，y=1；（2）当x0时，x0， ，（当且仅当x=1时取等号）；（3）当x0时，x0，（当且仅当x=1时取等号），1y3.综上所述，值域为.说明：此题也可以用判别式法求解.6数形结合法有些函数，可以直接观察图象
2、得出函数的值域；若函数解析式的几何意义比较明显，例如与距离、斜率等问题联系在一起，可用数形结合的方法求出值域.例6 求函数的值域.解：首先画出函数的图象， 由图象可知，函数的值域为4,4.例7 求函数的值域.解： ， 设，它表示直线AP的斜率，其中A(2,0)，点P为单位圆上的动点，如图，值域为.7利用函数的单调性求值域如果我们能够确定所给函数的单调区间，那么也可以利用函数的单调性求出函数的值域.例8 求函数的值域.解：， x20，x50，x5，当x5时，随着x的增大，y逐渐减小，因此，函数在定义域上是减函数，当x=5时，y有最大值，又y0, , 函数的值域为.例9 求函数的值域.解：设，则，
3、且， 当时， y在上是增函数，当，即x=0时，y有最小值，值域为.8利用导函数求值域 如果函数在给定区间上可导，那么函数一定在这个区间上连续，我们可以利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值、最值情况，从而求出函数的值域.例10 求函数的值域.解：， 令，得x=0,1或3, 又1x2，x=0或1，x1x0x=00x1x=11x2+0+0yy有极大值2 又f(1)=10, f(2)=7，f(x)的最小值为10，最大值2，值域为10, 2.例11 求函数的值域.解：， 令，得x=1,0,1,xx1x=11x0x=00x1x=1x10+00+yy有极小值4y有极大值5y有极小值4 又当时，y无最大值
4、，但有最小值4，值域为.总结：由于函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，所以有些比较简单的问题可以直接利用函数解析式求得结果，但更多的问题需要利用上面介绍的比较常见的方法来解决. 另外，对于某些函数，可以利用多种方法求出值域，例如，对于函数，可以用均值不等式、判别式法、函数的导数求出值域；对于函数，可以用换元法、函数的导数求出值域. 请你思考如何利用函数的导数求出和的值域.【强化训练】同步落实级一、选择题1函数y=sinx|sinx|的值域是（ ）A1,0 B0,1C1,1 D2,02若函数y=acosx+b(a、b为常数)的值域为，则的值为（ ）A2 B4 C D二、解答题3求下列函数
5、的值域：（1）;（2）；（3）；（4）；（5）.同步检测级一、选择题1已知函数，则函数的最大值是（ ）A22 B18 C16 D132的值域是（ ）A B2,2C D二、解答题3若函数的值域为，求实数a, c的值.4求函数的最小值.参考答案同步落实级一、1D 2C二、3解：（1）当x0时，（当且仅当时取等号），函数的值域为.（2），值域为.（3），令，得，又，,当时，；当时，又当时，；当时，故值域为.（4）设，则，0x4，0t2, 0y8，值域为0，8.（5）,令，得x=2或3,当x=2时，y=4； 当x=3时，y=3；当x=1时，y=1； 当x=4时，y=8.，值域为1，8.同步检测级一、1A 2C二、3解：由得，当y=0时，ax=1 ,a0，当y0时，1y5， 1和5是方程的两根， 解得.4解：如图，设，则，P为x轴上的动点，当P为直线AB与x轴的交点时，最小，又直线AB的方程为3x+4y7=0，令y=0，得，P为，此时，=|AB|=10, y的最小值为10.
