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1、高三数学文复数与逻辑人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：复数与逻辑二. 重点、难点：1. 复数的概念（1）虚数单位（2）复数（3）实部（4）虚部（5）虚数（6）纯虚数（7）复平面、实轴、虚轴（8）共振复数：与 2. 复数运算 （） 3. 命题：真命题、假命题 4. 四种命题：原命题，逆命题，否命题，逆否命题。互为逆否命题的一对命题，同真同假。 5. 充分必要条件且，则称是的充分不必要条件。且，则称是的必要不充分条件。且，则称是的充要条件。且，则称是的既不充分也不必要条件 6. 逻辑联结词或（p，q中有一个真，为真）且（中有一个假，为假）非（与一真一假） 7. 全称量词（任意，所有）
2、全称命题 8. 存在量词 （存在一个，有一个）特称命题【典型例题】例1 若，求实数的值。分析：将等式左边整理成后，利用复数相等的充要条件，列出方程组，求出的值。解答：原式可以化为根据复数相等的充要条件，有，解得例2 已知关于x的方程有实根，则实数m满足（ ）A. B. C. D. 解答：设实根为，则，即 解得，故选D。例3 已知对应的点分别为P1、P2，则对应的复数为（ ）A. B. C. D. 解答：因为，对应的复数为，故选B。例4 复数的值为（ ）A. 0 B. 1 C. D. 解析：由及2010被4除余2知， 故选D。例5 已知，复数，当为何值时，（1）；（2）是纯虚数；（3）对应的点位
3、于复平面第二象限；（4）对应的点在直线上。分析：复数，当且仅当时，；当且仅当且时，为纯虚数，当时，对应的点位于复平面的第二象限；复数对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上。解答：（1）由且，得，故当时，。（2）由解得，或 当或时，为纯虚数（3）由解得或故当或时，z对应的点位于复平面的第二象限。（4）由，得解得或 当或时，点z在直线上例6 计算：（1）；（2）分析：本题若按复数乘除法和乘方法则直接计算，则显得十分繁琐。若能结合题目特点，联想结论和的性质。对于（2）题并注意到，计算会简便许多。解答：（1）原式其中（2）原式例7 已知z是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应
4、的点在第一象限，求实数的取值范围。解析：设，由题意得由题意得 根据条件，可知，解得 实数的取值范围是（2，6）例8 复数，复数满足，则复数z= 。答案：解析：设，则 例9 已知，且为实数，则等于（ ）A. 1 B. 2 C. 2 D. 1答案：A解析： 为实数 例10 设关于x的方程是；（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；（2）证明：对任意，方程无纯虚数根。解析：（1）设实数根是，则，即 ， ，且，又， （2）若方程存在纯虚数根，设为，则，即此方程组无实数解 对任意，方程无虚数根。例11 对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关，若要说明复数，线性相关，那么可取 。（只要写出
5、满足条件的一组值即可）解答：由得即 故填或等例12 已知：，求是的什么条件。解答：可转化为 观察上图知， 是的充分而不必要条件例13 命题甲：“成等差数列”，命题乙：“”，则甲是乙的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析： ，则也成等差数列，但推不出；反过来由，即成等差数列。综上所述，“成等差数列”是“”的必要不充分条件，故选A。例14 设是方程的两个实根，试分析且是两根均大于1的什么条件？分析：把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么，然后再验证还是，还是。解答：据韦达定理得，判定的条件是，结论是（还
6、要注意条件中需要满足大前提）（1）由，得， （2）为了证明，可以举出反例：取，它满足，且满足，但不成立。由上述讨论可知：且是必要但不充分条件。例15 给出命题：“已知是实数，若且，则”。对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个解析：本题考查四种命题，其中原命题与逆否命题、逆命题与否命题等价，故只要判断原命题与逆命题的真假即可，可以判断出四个命题都是假命题。 选A。例16 下列判断错误的是（ ）A. 命题“若则”与命题“若则”互为逆否命题B. “”是“”的充要条件C. “矩形的两条对角线相等”的否定为假D. 命题“或”为真（其中为
7、空集）解析：由，但。故选B。例17 已知，求证：的充要条件是。证明：先证必要性。 ，即 再证充分性 ，即 由，即且 ，只有综上可知，当时，的充要条件是例18 设是简单命题，则“且为假”是“或为假”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解答：由“p且q为假”知p、q中至少有一个为假即可，而“p或q为假”则p，q都为假，由此可推断“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件，故选A。例19 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：（1）p是r的什么条件？（2）s是q的什么条件？（3）p、q、r、s中哪几对互
8、为充要条件？解析：作出“”图，如图可知：（1），且能否推出未知， 是r的充分条件。（2） ， s是q的充要条件。（3）共有三对充要条件，；例20 已知。设命题P：函数为减函数。命题Q：当时，函数恒成立，如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求的取值范围。解析：由为减函数得当时，因为，故函数在上为减函数，在上为增函数。 在上的最小值为当时，由函数恒成立，得，解得如果P真，且Q假，则如果P假，且Q真，则所以的取值范围为例21 如果不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D. 或答案：B解析：由题意知则有，解得，故选B。例22 已知命题p：对，不等式恒成立；命题：不
9、等式有解。若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围。解：p：恒成立 q： ： 例23 已知：，：，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围。解：是的充不必是的充不必： ： 显然成立 综上所述，【模拟试题】1. 设是实数，且是实数，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 22. 复数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 设，则集合中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个4. 若是纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. D. （k都是整数）5. 已知，是纯虚数，则a等于（ ） A. 1 B. 1 C. D. 6. 集合，则下列结论正确的是（ ）A. B. C
10、. D. 7. 设集合A=，那么“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 满足，且=的集合M的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）A. B. C. D. 10. 有关命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. “x=1”是“”的充分不必要条件C. 若为假命题，则，均为假命题D. 对于命题，使得，则为：，均有11. 下列命题：“若，则x，y互为倒数”的逆命题；“四个边相等的四边形是正方形”的否命题；“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
11、“，则”的逆命题。其中真命题的序号是 。12. 命题“，若，则”的逆命题、逆否命题中真命题共有 个。13. 如果复数的实部与虚部互为相反数，则 。14. 若复数（是虚数单位），则 。15. 已知下列语句： 求证是无理数； ； 你是高三的学生吗？ 并非所有的人都喜欢苹果； 一个正整数不是质数就是合数； 若和都是有理数，则都是有理数； ； 若，则。其中命题的个数是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 716. 命题“若，则”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 317. “是函数在区间上为增函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条
12、件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件18. 给出以下命题： ，有； ，使得； ，对使，其中真命题的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 319. 设语句：则下列为真命题的是（ ） A. B. C. 若则 D. 若则20. 如果命题“”与命题“”都是假命题，那么（ ）A. 命题“”与“”真假相同B. 命题“”与“”中至少有一个是假命题C. 命题“”与命题“”同真D. 命题“”与命题“”同真 21. 已知条件：，或，条件：，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 22. 命题“方程的解”是“”的形式是（ ）A. 简单命题 B. 形式 C. 形式 D. 形式 23. 设集合，那么点P（2，3）的充要条件是（ ）A. B. C. D. 24. 已知命题：若实数满足，则全为0；命题：若，则。给出下列四个复合命题： ； ； ； 。其中真命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 25. 对下列命题的否定说法错误的是（ ） A. p：能被3整除的整数是奇数；：存在一个能被3整除的整数不是奇数B. ：每一个四边形的四个顶点共圆；：存在一个四边形的四个顶点不共圆C. ：有的三角形为正三角形；：所有的三角形都不是正三角形D.
