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1、第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 基础题组练1在平面直角坐标系中，已知向量a(1，2)，ab(3，1)，c(x，3)，若(2ab)c，则x()A2B4C3D1解析：选D.因为ab(3，1)，所以a(3，1)b，则b(4，2)所以2ab(2，6)又(2ab)c，所以66x，x1.故选D.2.已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若，则等于()A2B2C3D3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则(1，0)，(2，2)，(1，2)因为，所以(2，2)(1，2)(1，0)(，2)，所以解得所以2.故选A.3在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，若mn，则()A
2、m，nBm，nCm，nDm，n解析：选A.在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，则，故，.由于mn，所以m，n.故选A.4已知平面直角坐标系内的两个向量a(m，3m4)，b(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成cab(，为实数)，则m的取值范围是()A(，4)B(4，)C(，4)(4，)D(，)解析：选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成cab，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量又因为a(m，3m4)，b(1，2)，则m2(3m4)10，即m4，所以m的取值范围为(，4)(4，)5在平面直角坐标系xOy中
3、，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且AOC，|OC|2，若，则()A2B.C2D4解析：选A.因为|OC|2，AOC，所以C(，)，又因为，所以(，)(1，0)(0，1)(，)，所以，2.6在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2，4)，(1，3)，则_解析：由题意得()2(1，3)2(2，4)(3，5)答案：(3，5)7(2019昆明市诊断测试)已知O为坐标原点，向量(1，2)，(2，1)，若2，则|_.解析：设P点坐标为(x，y)，(2，1)(1，2)(3，3)，(x1，y2)，由2得，2(x1，y2)(3，3)，所以，解得，故|.答案：8已知A(3，
4、0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_解析：由题意知(3，0)，(0，)，则(3，)，由AOC30知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150，所以tan 150，即，所以1，答案：19已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，
5、因为3c，所以3c(3，24)(3，4)(0，20)所以M(0，20)又因为2b，所以2b(12，6)(3，4)(9，2)，所以N(9，2)所以(9，18)10如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，CBA60，ABD45，xy，求xy的值解：不妨设O的半径为1，则A(1，0)，B(1，0)，D(0，1)，C.所以，.又xy，所以x(1，0)y.所以，解之得，所以xy.综合题组练1(创新型)若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2，1)下的坐标为(2，2)，则a在另一组基底m(1，1)，n(1，2)下的坐标为()A(
6、2，0)B(0，2)C(2，0)D(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(2，2)，即a2p2q(2，4)，令axmyn(xy，x2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0，2) 2(创新型)已知P，Q是两个向量集合，则PQ等于()A.B.C.D.解析：选A.设a(x，y)，则P(x，y)| ，所以集合P是直线x1上的点的集合同理，集合Q是直线xy2上的点的集合，即P，Q，所以PQ.故选A.3(应用型)已知非零不共线向量，若2xy，且(R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()Axy20B2xy10Cx2y20D2xy20解析：选A.由，得()，即(1).又2xy，所以消去得xy2
7、0，故选A.4.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若mn，则mn的取值范围是_解析：由点D是圆O外一点，可设(1)，则(1).又C，O，D三点共线，令(1)，则(1，1)，所以m，n，则mn(1，0)答案：(1，0)5(一题多解)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1，1，与的夹角为，且tan 7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，求mn的值解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan 7，得sin ，cos ，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC|cos ，yC|sin ，即C.又cos(45)，sin (45)，则xB|cos(45)，yB|sin (45)，即B，由m n ，可得解得所以mn3.法二：由tan 7，得sin ，cos ，则cos(45)，11，1，11，由m n ，得m 2n ，即mn，同理可得m n 2，即1mn，联立，解得所以mn3.6已知ABC中，AB2，AC1，BAC120，AD为角平分线(1)求AD的长度；(2)过点D作直线交AB，AC延长线于不同两点E，F，且满足x，y，求的值，并说明理由解：(1)根据角平分线定理：2，所以，所以()，所以222，所以AD.(2)因为x，y，所以，因为E，D，F三点共线，所以1，所以3.- 1 -
