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1、分形理论及其在岩土工程中的应用分形几何课程论文学 院：专 业：指导老师： 姓 名： 学 号：联系方式：2010年12月分形理论及其在岩土工程中的应用1 引言5欧氏几何、三角学、微积分学使我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空等,它们所描述的几何对象是规则和光滑的。而在自然界中存在着大量的复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管、烧结过程中形成的各种尺寸的聚积团等等。面对这些事物和现象，传统科学显得束手无策。因为目前还没有哪一种几何学能更好地
2、描述自然形态，象山、云、火这类的自然形态尚缺少必要的数学模型。近30 年来，科学家们朦胧地“感觉”到了另一个几何世界，即关于自然形态的几何学，或者说分形几何学。这种几何学把自然形态看作是具有无限嵌套层次的逻辑结构，并且在不同尺度之下保持某种相似的属性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。于是在变换与迭代的过程中得到描述自然形态的有效方法(其中L 系统和IFS 方法便是典型的代表)。分形理论是非线性科学的一个重要分支，主要研究的就是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规
3、则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。2 分形理论的创始和发展1“分形”(fractal) 一词由美籍法国数学家曼德尔布罗特(Benoit B.mandelbrot)教授在1975 年首次提出，其源于拉丁文fractus，原意为“分数的，不规则的，破碎的”。我们通常以曼德尔布罗特发表在1967年科学杂志上的“英国的海岸线有多长统计自相似性与分数维数”一文作为“分形”学科诞生的标志。分形理论的发展大致可分为三个阶段：第一阶段为1875年至1925年，在此阶段人们已认识到几类典型的分形集，并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。1872年，维尔斯特拉斯(Weieratrass
4、)证明了一种连续函数维尔斯特拉斯函数在任意一点均不具有有限或无限导数。同年，康托尔(Cantor)引入了一类全不连通的紧集，被称为康托尔三分集。1890年皮亚诺(Peano)构造出填充平面的曲线。皮亚诺曲线以及其它的例子导致了后来拓扑维数的引入。1904年科切(Koch) 通过初等方法构造了处处不可微的连续曲线科切曲线(图1.1)，并且讨论了该曲线的性质。图1.1 Koch) 曲线波瑞（Perrin）在1913年对布朗运动的轨迹图进行了深入的研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。他的这些论述在1920年促使维纳(Wiener)建立了很多布朗运动的概率模型。为了表明自然混乱的极端形式，维
5、纳采用了“混沌”一词。由于非常“复杂”的几何的引入，长度、面积等概念必须重新认识。为了测量这些集合，闵可夫斯基(Minkowski)于1901年引入了闵可夫斯基容度。豪斯道夫(Hausdorff)于1919年引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数。这些实际上指出了为了测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采取的尺度。总之，在分形理论发展的第一阶段，人们已经提出了典型的分形对象及其相关问题并为讨论这些问题做了最基本的工作。第二阶段大致为1926年到1975年，人们在分形集的性质研究和维数理论的研究都获得了丰富的成果。贝希柯维奇(Besicovitch)及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研
6、究曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质、以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。布利干(Bouligand)于1928年引入了布利干维数，庞德泽金(Pon- trjagin)与史尼雷尔曼（Schnirelman）于1932年引入了覆盖维数，柯尔莫哥洛夫（Kolmo- gorov）与季霍米洛夫(V.Tikhomirov)于1959年引入体维数。由于维数可以从不同角度来刻画集合的复杂性，从而起了重要作用。以塞勒姆(Salem)与柯汉(Kahane)为代表的法国学派从稀薄集的研究出发，对各种类型的康托尔集及稀薄集作了系统的研究，应用了相应的理论方法和技巧，并在调和分析
7、理论中得到了重要应用。尽管此阶段的分形研究成果颇丰，但绝大部分局限于纯数学理论的研究，而未与其它学科发生联系。另一方面，物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形几何有关的问题，迫切需要新的思想与有利的工具来处理。正是在这种形势下，曼德尔布罗特以其独特的思想,自20世纪60年代以来，系统、深入、创造性地研究了海岸线的结构、具强噪声干扰的电子通讯、月球的表面、银河系中星体的分布、地貌生成的几何性质等典型的自然界的分形现象，并取得了一系列令人瞩目的成就。第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。曼德尔布罗特于1977年以分形：形、机遇和维数为名
8、发表了他的划时代的专著。此专著，第一次系统的阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。此专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生，从而把分形理论推进到一个更为迅猛发展的新阶段。5年后，他又出版了另一部著作自然界的分形几何学，至此分形理论初步形成。由于对科学的杰出贡献，他荣获了1985年的Barnard奖。现在“分形”的研究已经进入了一个深入攻坚与广泛应用的阶段。但是“分形”理论的研究却存在很大的缺陷，例如：分形严格的数学定义是什么？应该如何对分形进行简单的计算？重要的生长模型- 扩散置限凝聚生长模型DLA(Diffusion Limited Aggregation)的物理本质是什么，它
9、究竟是按什么规律在进行生长等。由于非线性数学工具的匮乏，我们在很多问题上都无法做出定量的刻画，目前大量的工作还是以计算机模拟为主。3 分形定义及分形维数3.1 分形的性质描述定义目前对分形并没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说，分形是没有特征长度,但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。英国数学家肯尼斯法尔科内（Kenneth J.Falconer）在其所著分形几何的数学基础及应用一书中认为，对分形的定义，可以用生物学中对“生命”定义的办法。即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，按这种观点，称集合F是分形，是指它具有下面典型的性质：（1）F具有精细结构，即在任意小的
10、尺度下，它总有复杂的细节。（2）F是不规则的，其整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；传统的几何语言，如欧几里德几何语言，只能对那些平滑的直线或曲线进行测量和描述，对分形这种处处不连续或处处连续但又处处不光滑的图形是无法测量和描述的。（3）F通常具有自相似形式，这种自相似可以是近似的或是统计意义的；（4）一般情况下，F在某种方式下定义的分形维数大于它的拓扑维数；这是曼德尔布罗特于1982 年为分形所下的定义。分形维数是度量分形集复杂程度的一个量，它可以是整数也可以是分数或小数。而拓扑维数值恰恰是与组成分形的基本单元的欧氏维数值相同，那么分形维数大于它的拓扑维数，正好说明了分形用传统几何学来度
11、量的话，它是个无限集，是一个趋向无穷的集合。（5）在大多数情形下，F以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生。3.2 分形维数维数是几何学和空间理论的基本概念，它源于经典的欧氏空间。在欧氏空间中，直线所构成的空间是一维的，平面是二维的，普通(立体)空间是三维的。人们称这种维数为经典维数或是欧氏维数，它必须是整数。欧氏几何研究的是规则而光滑的对象,但自然界中更多的是既不规则又不光滑的研究对象。如果要问雪花、云彩、山脉、江河、树枝、花朵、以及漩涡等复杂的自然构形的维数是多少，用经典维数是难以区别它们的复杂程度的。在分形几何中，度量两个分形集合的“不规则”程度和“复杂”程度的客观工具是分形维数。目前
12、，对分形维数的定义很多，如：豪斯道夫维数、相似维数、容量维数、信息维数、关联维数等。有着不同定义的分形维数，描述分形集的角度也是不同的。在一般情况下，它是一个分数。当然，它可以是整数也可以是非整数。例如，自然界的山，其分形维数在2.2维左右，但从2.1维到2.5维画出来的都有一定的山的效果。由于分形客体具有自相似性，所以很自然想到通过对客体的相似维数来对它进行描述。对于某分形集S，若其局部与整体相似，只要将局部放大一定倍数总可以得到与整体一致的图形，称之为自相似集。对自相似集S来说，定义所谓相似维数为： ，其中N是组成S的相似子集的个数，C为相似比例系数。按此定义，若S为一直线段，那么它可看作
13、是由比例系数为 c=1/k 的K个直线段构成的，于是， 。若S是个正方形，它可看作是由比例系数 c=1/k 的K2个与之相似的小正方形构成的，那么。也就是说，相似维数在这种特例之下与通常维数概念是一致的。4分形理论在岩土工程中的应用尽管岩石力学学科创建已逾半个世纪，在经典力学理论的框架下繁演了诸多的理论模型，但面对复杂的工程岩体材料仍显得无能为力，计算结果与实际相差甚远，现有的连续介质力学理论和离散介质力学理论，均不能很好地描述这种特殊的介质。分形理论用于研究数学领域和自然界中，经典欧氏几何无法表述的极其复杂和不规则几何形体与现象，并用分形维数定量刻画其复杂程度。因此，应用分形理论研究岩石介质
14、变形破坏规律是具有深远影响的举措，近20多年分形理论在岩土工程中得到了较为广泛的应用。4.1土的微结构分形土的工程性质与土的物质成分、微结构密切相关。在物质成分研究中，粒度成分常起较大的作用，决定了土的渗透、变形、强度等物理力学特性，因而粒度(颗粒级配)常作为土工程分类的主要指标。刘松玉、胡瑞林等研究表明5：土的颗粒分布表现为分形特征。在分析中，采用统计自相似性原理来计算分维，通常以小于某一粒径(r)的颗粒的累计数目N(r)来刻划其分布特征，即：(1)或 (2)式中D为粒度分维。上式与容量维定义一致。它反映了颗粒的均一化程度。D值越大，则均一化程度越差。计算结果表明，我国某地区土的粒度分维为：
15、膨胀土0.881.22，软土1.371.45，天然黄土0.821.275。4.2节理表面的分维岩体力学中，节理表面形貌特征是控制岩体力学性态的重要因素。以前用节理面的平均起伏角i和表面粗糙度系数JRC来表征。研究表明，节理面是在天然地质过程中形成的，具有随机性，其纵剖轮廓线的高低起伏变化表现为统计自相似性，具有分形特征。因此，可以用分维值来反映节理面的粗糙程度。文献6用码尺法测量了不同节理的分维值。结果表明，分维值能很好地反映节理的粗糙程度，比起ISRM轮廓线粗糙度系数JRC的肉眼经验判别，分维是粗糙程度更客观的定量尺度。文中根据波纹的形态不同，把分维值细化为波纹分维和齿纹分维，为进一步分析节理剪切力学机制提供了细化参数。4.3分维和岩石质量系数的关系岩石质量系数(RQD)是对岩体中节理分布密度的评价，其值越大，表示岩石质量较好，节理分布较稀疏。文献7认为，以节理间距菇为横坐标，间距大于菇的节理条数N(x)为纵坐标，取对数后整理回归统计，发现与之间存在显著的线性关系，即节理间距分布符合统计自相似性质。有： (3)进一步推导出了节理间距服从负指数分布时，RQD值与Df间的关系为： (4)4.4分形损伤2类似岩石的脆性材料与结构，在宏观裂纹出现之前，已经产生了微观裂纹
