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1、等差、等比数列的子数列的探究一、 定义子数列若数列是由数列的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列是数列的子数列。二、 讨论等差数列是否存在等差子数列1、 学生举例：（1）设为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。（2）中有子数列等。（3）中有子数列等小结：只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。2、 从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之间的关系，从而得出结论：（1） 等差数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列。（2） 新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。3证明结论：设是等差数列，d是公差，若是子数列的相邻两项，
2、当为常数时，也是常数。三、 讨论等比数列是否存在等比子数列1、 学生举例：（1）设为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。（2）中有子数列和等。（3）中有子数列等。小结：只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比子数列。2从具体的例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之间的关系，从而得出结论：（1） 等比数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列。（2） 新的等比数列的公比等于k个原等比数列的公比的积。3证明结论：设是等比数列，q是公比，若是子数列的相邻两项，当为常数时，也是常数。四、 讨论等差数列是否存在等比子数列1。学生举例：=n中有子数列=和=等。
3、（自然数列是学生最容易想到的，除了自然数列之外，其他的数列不容易想到）2给出一个例子一起研究。例1 已知：等差数列，且。问：等差数列中是否存在等比子数列？（1） 写出的一些项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，学生尝试后找出结果有：2，8，32，128，512，2,14,98,686,4802, ，;2,20,200,2000, ，5,20,80,320, ，;2,26,338, ，(2)猜想：；（3）提问：这些猜想是否正确呢？我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。（4） 学生分组证明猜想分析：的项被3
4、除余2，从而得出利用二项式定理证明的方法。证1：（用二项式定理），即除以3余2，是的子数列。分析 ：由前面几项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明的方法。证2：（数学归纳法） 当n=1时， 假设当n=k时，那么当n=k+1时，.由、得是的子数列。（5） 同理证明 ，（6） 引申：让学生找规律以中任一项为首项，以为公比的等比数列均是该等差数列的等比子数列（7） 小结：归纳法是从特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步证明的。从归纳猜想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。（8） 思考：对给定的等差数列可以构造出等比数列，不确定的等差数列中是否存在等比数列？ 例2
5、 已知：数列是首项公差是d的等差数列。数列是等比数列，且。问：是否存在自然数d，使得数列是数列的子数列？如存在，试求出d的一切可能值分析：先取d=1，2，3，4，5，6。发现当d是奇数时，不可能。是奇数，公比为分数，则从第三项开始就不是自然数取d=2，：2，4，6，8，：2，4，8，16，是偶数，d=2时，数列是数列的子数列取d=4，：2，6，10，14，18，：2，6，18，54，d=4时，数列是数列的子数列。同理d=6时，数列也是数列的子数列。由此猜想当时，数列是数列的子数列。可以用二项式定理或数学归纳法证明。证1：（用二项式定理）在中， 在中，=2，。令则= ，可解出即为中的某一项。证2
6、：（数学归纳法）当n=1时，；假设是的第p项，即则=2+即是中的第m（p-1）+p+1项。由、得，数列是数列的子数列。小结：这个问题的解决还没有完成一般情况的讨论。一是首项可以不确定，二是子数列并非要前面两项相同五、 课后思考（1） 例2中，若呢（2） 若不确定呢？（？（3） 等比数列是否存在等差数列？奉贤区致远高级中学高二数学竞赛试题（2006年5月）一、 填空题（本题16小题，每小题4分，共64分）1 函数在时的单调递增区间是_.2 一个等差数列共有12项,前4项的和是10,后4项的和是4,则中间4项的和是_.3 定义在上的奇函数,在上是增函数,若,则的取值范围是_4 已知函数，则函数的最
7、大值与最小值之差是_5 函数的值域是_6 已知个向量的和为零向量,且其中一个向量的坐标为,则其余个向量和的模是_7 若是方程的根,则的值是_8 若双曲线的右支上有一点到直线的距离为,则9 如图，正四面体的棱长为，在棱上各有一点，若，则线段的长为_10.设正三棱锥底面的边长为,侧面组成直二面角,则该棱锥的体积等于_11.如图所示，在两面竖直墙壁和之间的一点放一个梯子，梯子靠上时，与地面成角，靠上时，与地面成角。已知墙的高度为，那么两墙之间的距离为_12.三角形的边长分别为,则能将它完全覆盖的最小的圆的面积是_13.如果方程有两个不同的实数根,那么实数的取值范围是 _14.定义“等和数列”：在一个
8、数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且公和为，那么的值为_,这个数列的前项和的计算公式为_15.一个正三角形内接于椭圆,顶点的坐标为,过顶点的高在轴上,则此正三角形的边长为_16.对任意实数,函数满足,若,则对负整数的表达式为_二、（本题12分）已知数列中，且，（1） 若是等差数列，求的通项公式；（2） 能否为等比数列？若可能，求出此等比数列的通项公式，若不能，说明理由 三、（本题12分） 设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正数，使 的定义域和值域相同 四、（本题12分） 设两点在抛物线上，是的垂直平分
9、线。（1） 当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；（2） 当直线的斜率为时，求在轴上截距的取值范围参考答案一、1； 2. ； 3. 或; 4. ; 5. ;6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10.; 11. ; 12. ; 13. ; 14. 当为偶数时,当为奇数时,; 15. ; 16. 二、解：（1）设公差为，则由，得，即 当且，即时，恒成立，所以的通项公式为（2）若是等比数列，设公比为，则由得 解得，但不满足，所以不可能是等比数列三、解：若，则对每个正数，的定义域和值域都是，故满足条件；若，则对正数，的定义域=，但的值域，故，即不符合条件；若，则对正数，的定义域，由于此时，故的值域是，综上所述或四、解：（1）两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是轴的平行线，依题意，不同时为0，上述条件，即当且仅当时，经过抛物线的焦点（2）设在轴上的截距为，依题意得的方程为，过点的直线方程可写为，所以满足方程得，为抛物线上不同的两点等价于方程的判别式，设的中点的坐标为，则，由得，于是
