《2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题3 立体几何 增分强化练(二十二)理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题3 立体几何 增分强化练(二十二)理(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、增分强化练(二十二)1(2019泉州质检)在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,ABAD,ADBC,AB1,AD2BC,PD.(1)求证: 平面PBD平面PAC;(2)M为棱PB上异于B的点,且AMMC,求直线AM与平面MCD所成角的正弦值解析:(1)证明:在RtABC与RtABD中,因为, ,所以,ABCDAB90,即ABCDAB,所以ABDBCA.因为ABDCBD90,所以BCACBD90,所以ACBD.因为PD平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC,又BDPDD,所以AC平面PBD,又AC平面PAC, 所以平面PBD平面PAC. (2)过A作AEDP,因为PD平面ABCD,所以A
2、E平面ABCD,即AE,AB,AD两两相垂直,以A为原点,AB,AD,AE所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 因为AB1,AD2BC,PD,所以A(0,0,0),B(1,0,0),C,D(0,0),P(0,),(1,0,0),(1,), 设,(0,1则(1,),(,). 因为AMMC,所以0,即(1)()320,解得6220,0或.因为(0,1,所以.所以,即M.所以,设n(x0,y0,z0)为平面MCD的一个法向量,则,所以,所以取n, 设直线AM与平面MCD所成角为,所以sin |cos,n|,所以直线AM与平面MCD所成角的正弦值.2(2019济宁模拟)如图,在直角
3、梯形ABED中,ABDE,ABBE,且AB2DE2BE,点C是AB中点,现将ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置(1)求证:平面PBC平面PEB;(2)若PE与平面PBC所成的角为45,求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值解析:(1)证明:ABDE,AB2DE,点C是AB中点,CBED,CBED,四边形BCDE为平行四边形,CDEB,又EBAB,CDAB,CDPC,CDBC,CD平面PBC,EB平面PBC,又EB平面PEB,平面PBC平面PEB.(2)由(1)知EB平面PBC,EPB即为PE与平面PBC所成的角,EPB45,EB平面PBC,EBPB,PBE为等腰直角三角形,EBPBB
4、CPC,故PBC为等边三角形,取BC的中点O,连结PO,则POBC,EB平面PBC,又EB平面EBCD,平面EBCD平面PBC,又PO平面PBC,PO平面EBCD,以O为坐标原点,过点O与BE平行的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图,设BC2,则B(0,1,0),E(2,1,0),D(2,1,0),P(0,0,),从而(0,2,0),(2,1,),设平面PDE的一个法向量为m(x,y,z),则由得,令z2得m(,0,2),又平面PBC的一个法向量n(1,0,0),则cosm,n,平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.3(2019高考全国卷)如图
5、,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA14,AB2,BAD60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点(1)证明:MN平面C1DE;(2)求二面角AMA1N的正弦值解析:(1)证明:如图,连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且MEB1C.又因为N为A1D的中点,所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC,可得B1C綊A1D,故ME綊ND,因此四边形MNDE为平行四边形,所以MNED.又MN平面C1DE,所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA,以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(2,0,0),A1
6、(2,0,4),M(1,2),N(1,0,2),(0,0,4),(1,2),(1,0,2),(0,0)设m(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则所以可取m(,1,0)设n(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则所以可取n(2,0,1)于是cosm,n,所以二面角AMA1N的正弦值为.4(2019高考全国卷)如图,长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AEA1E,求二面角BECC1的正弦值解析:(1)证明:由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,B1C1EC1C1,所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB45,故AEAB,AA12AB.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1),(0,0,2)设平面EBC的法向量为n(x1,y1,z1),则即所以可取n(0,1,1)设平面ECC1的法向量为m(x2,y2,z2),则即所以可取m(1,1,0)于是cosn,m.所以,二面角BECC1的正弦值为.- 1 -